Номер 9.4, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 9. Комбинаторные и вероятностные задачи. Дерево вариантов и правило нахождения вероятности. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 9.4, страница 56.

Условие.

9.4 Нарисуйте дерево вариантов значений дроби $\frac{ab}{b-a}$, если переменная $a$ принимает значения 2 или 4, а переменная $b$ — значения 2, 3 или 4. В скольких случаях дробь не имеет смысла?

Какова вероятность того, что при случайном выборе значений $a$ и $b$ значение дроби будет:

a) положительным;

б) меньше 5?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи составим дерево вариантов для всех возможных пар значений переменных a и b и вычислим для каждой пары значение дроби $\frac{ab}{b-a}$.

Переменная a может принимать значения 2 или 4.

Переменная b может принимать значения 2, 3 или 4.

Общее количество комбинаций (исходов) равно $2 \times 3 = 6$.

Дерево вариантов:

• Если a = 2:
  • при b = 2: значение дроби $\frac{2 \cdot 2}{2 - 2} = \frac{4}{0}$ (дробь не имеет смысла, так как деление на ноль).
  • при b = 3: значение дроби $\frac{2 \cdot 3}{3 - 2} = \frac{6}{1} = 6$.
  • при b = 4: значение дроби $\frac{2 \cdot 4}{4 - 2} = \frac{8}{2} = 4$.
• Если a = 4:
  • при b = 2: значение дроби $\frac{4 \cdot 2}{2 - 4} = \frac{8}{-2} = -4$.
  • при b = 3: значение дроби $\frac{4 \cdot 3}{3 - 4} = \frac{12}{-1} = -12$.
  • при b = 4: значение дроби $\frac{4 \cdot 4}{4 - 4} = \frac{16}{0}$ (дробь не имеет смысла, так как деление на ноль).

Дробь не имеет смысла, когда ее знаменатель $b-a$ равен нулю. Это происходит, когда $b = a$. Таких случаев два: когда $a=2, b=2$ и когда $a=4, b=4$.

Ответ: Дробь не имеет смысла в 2 случаях.

Теперь определим вероятности. Общее число равновозможных исходов (случайный выбор пары значений a и b) равно $N=6$.

а) положительным;

Значение дроби будет положительным, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Поскольку a и b — положительные числа, числитель $ab$ всегда положителен. Следовательно, знаменатель $b-a$ также должен быть положительным, что означает $b > a$.

Найдем пары, удовлетворяющие этому условию:

• Если $a=2$, то подходят $b=3$ и $b=4$. (2 случая)
• Если $a=4$, то ни одно из значений b (2, 3, 4) не больше 4. (0 случаев)

Число благоприятных исходов $M=2$. Вероятность $P$ того, что значение дроби будет положительным, равна:

$P(\text{положительное}) = \frac{M}{N} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) меньше 5?

Рассмотрим все случаи, когда дробь имеет определенное значение, и сравним его с 5:

• $a=2, b=3 \rightarrow$ значение 6. $6 \not< 5$
• $a=2, b=4 \rightarrow$ значение 4. $4 < 5$ (благоприятный исход)
• $a=4, b=2 \rightarrow$ значение -4. $-4 < 5$ (благоприятный исход)
• $a=4, b=3 \rightarrow$ значение -12. $-12 < 5$ (благоприятный исход)

Число благоприятных исходов $K=3$. Вероятность $P$ того, что значение дроби будет меньше 5, равна:

$P(\text{меньше 5}) = \frac{K}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.