Номер 9.1, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 9. Комбинаторные и вероятностные задачи. Дерево вариантов и правило нахождения вероятности. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 9.1, страница 55.

Условие.

9.1 Значение переменной a случайно выбирают среди целых чисел от 0 до 9 включительно.

а) Для скольких значений переменной a значение дроби $ \frac{a^2(a^2 - 4)}{a(a - 2)} $ не определено?

Упростите дробь и найдите вероятность того, что значение дроби является:

б) не целым числом;

в) двузначным числом;

г) чётным числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

По условию, значение переменной $a$ случайно выбирают среди целых чисел от 0 до 9 включительно. Это означает, что $a$ может принимать одно из значений множества $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Всего 10 равновозможных исходов.

а) Для скольких значений переменной $a$ значение дроби $\frac{a^2(a^2 - 4)}{a(a - 2)}$ не определено?

Значение дроби не определено, когда ее знаменатель равен нулю. Знаменатель дроби равен $a(a - 2)$. Приравняем его к нулю, чтобы найти недопустимые значения $a$: $a(a - 2) = 0$. Это уравнение истинно, если $a = 0$ или $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$. Оба значения, $a=0$ и $a=2$, входят в заданный диапазон целых чисел. Следовательно, для двух значений переменной $a$ значение дроби не определено.

Ответ: 2.

Упростите дробь и найдите вероятность того, что значение дроби является:

Сначала упростим данное выражение. Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $\frac{a^2(a^2 - 4)}{a(a - 2)} = \frac{a^2(a - 2)(a + 2)}{a(a - 2)}$. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $a$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $a \neq 0$ и $a \neq 2$. При всех допустимых значениях $a$ мы можем сократить дробь на общие множители $a$ и $(a - 2)$: $\frac{a^{\cancel{2}}( \cancel{a-2})(a+2)}{\cancel{a}(\cancel{a-2})} = a(a+2)$. Таким образом, для всех $a \in \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ значение дроби равно значению выражения $a(a+2)$.

б) не целым числом;

Значение дроби является не целым числом, если оно не определено. Как было найдено в пункте а), это происходит при $a = 0$ и $a = 2$. В этих двух случаях событие является благоприятным. Для всех остальных 8 значений $a$ (1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) значение дроби равно $a(a + 2)$. Поскольку $a$ — целое число, то $a+2$ также является целым, и их произведение $a(a + 2)$ всегда будет целым числом. Таким образом, число благоприятных исходов равно 2 (когда $a=0$ или $a=2$). Общее число исходов равно 10. Вероятность $P$ того, что значение дроби не является целым числом, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(\text{не целое}) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

в) двузначным числом;

Нам нужно найти вероятность того, что значение выражения $a(a+2)$ является двузначным числом. Вычислим это значение для каждого допустимого $a$ (т.е. $a \notin \{0, 2\}$):
При $a=1$, значение равно $1(1+2) = 3$.
При $a=3$, значение равно $3(3+2) = 15$.
При $a=4$, значение равно $4(4+2) = 24$.
При $a=5$, значение равно $5(5+2) = 35$.
При $a=6$, значение равно $6(6+2) = 48$.
При $a=7$, значение равно $7(7+2) = 63$.
При $a=8$, значение равно $8(8+2) = 80$.
При $a=9$, значение равно $9(9+2) = 99$.
Двузначными являются значения, полученные при $a \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Число таких значений (благоприятных исходов) равно 7. Общее число исходов, когда мы выбираем $a$ из первоначального множества, равно 10. Вероятность $P$ равна: $P(\text{двузначное}) = \frac{7}{10}$.

Ответ: $\frac{7}{10}$.

г) чётным числом.

Значение дроби будет чётным числом, если значение выражения $a(a+2)$ является чётным числом. Произведение $a(a+2)$ чётно, если хотя бы один из множителей, $a$ или $a+2$, является чётным. Если $a$ чётное, то и $a+2$ чётное. Если $a$ нечётное, то и $a+2$ нечётное. Следовательно, произведение $a(a+2)$ чётно тогда и только тогда, когда $a$ чётно. Из множества допустимых значений $a \in \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ выберем чётные: $\{4, 6, 8\}$. Проверим значения дроби для этих $a$:
При $a=4$, значение $4 \cdot 6 = 24$ (чётное).
При $a=6$, значение $6 \cdot 8 = 48$ (чётное).
При $a=8$, значение $8 \cdot 10 = 80$ (чётное).
При нечётных допустимых $a$ (1, 3, 5, 7, 9) произведение будет нечётным. Таким образом, благоприятными являются исходы, когда $a \in \{4, 6, 8\}$. Число благоприятных исходов равно 3. Общее число исходов - 10. Вероятность $P$ равна: $P(\text{чётное}) = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$.