Номер 8.31, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 8. Степень с отрицательным целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8.31, страница 55.

Условие.

8.31 $\left(\frac{a^{-n} + b^{-n}}{a^{-n} - b^{-n}} - \frac{a^{-n} - b^{-n}}{a^{-n} + b^{-n}}\right)^{-1} = \frac{a^{-n}b^{n} - b^{-n}a^{n}}{4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть (ЛЧ).

ЛЧ = $ \left( \frac{a^{-n} + b^{-n}}{a^{-n} - b^{-n}} - \frac{a^{-n} - b^{-n}}{a^{-n} + b^{-n}} \right)^{-1} $

Сначала выполним вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $ (a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n}) $.

$ \frac{(a^{-n} + b^{-n})(a^{-n} + b^{-n}) - (a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} - b^{-n})}{(a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n})} = \frac{(a^{-n} + b^{-n})^2 - (a^{-n} - b^{-n})^2}{(a^{-n})^2 - (b^{-n})^2} $

Воспользуемся формулами сокращенного умножения: $ (x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy $ для числителя и $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $ для знаменателя. Пусть $ x = a^{-n} $ и $ y = b^{-n} $.

Числитель: $ (a^{-n} + b^{-n})^2 - (a^{-n} - b^{-n})^2 = 4a^{-n}b^{-n} $.

Знаменатель: $ (a^{-n})^2 - (b^{-n})^2 = a^{-2n} - b^{-2n} $.

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{4a^{-n}b^{-n}}{a^{-2n} - b^{-2n}} $

Теперь возведем полученную дробь в степень $ -1 $. Это то же самое, что найти обратную дробь (поменять местами числитель и знаменатель).

ЛЧ = $ \left( \frac{4a^{-n}b^{-n}}{a^{-2n} - b^{-2n}} \right)^{-1} = \frac{a^{-2n} - b^{-2n}}{4a^{-n}b^{-n}} $

Преобразуем полученное выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:

$ \frac{a^{-2n}}{4a^{-n}b^{-n}} - \frac{b^{-2n}}{4a^{-n}b^{-n}} $

Используя свойства степеней ($ \frac{x^k}{x^m} = x^{k-m} $ и $ x^{-k} = \frac{1}{x^k} $), упростим каждое слагаемое:

$ \frac{a^{-2n}}{a^{-n}b^{-n}} = \frac{a^{-n}}{b^{-n}} = a^{-n}b^n $
$ \frac{b^{-2n}}{a^{-n}b^{-n}} = \frac{b^{-n}}{a^{-n}} = b^{-n}a^n $

Подставим упрощенные части обратно в выражение:

ЛЧ = $ \frac{a^{-n}b^n}{4} - \frac{b^{-n}a^n}{4} = \frac{a^{-n}b^n - b^{-n}a^n}{4} $

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества. Следовательно, тождество верно.

Ответ: тождество доказано.