Номер 8.25, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 8. Степень с отрицательным целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8.25, страница 54.

Условие.

Найдите значение выражения:

8.25 а) $\frac{3x^{-2}}{2 - x^{-2}} - \frac{3x^{-2}}{2 + x^{-2}}$ при $x = 0,5^{-1}$;

б) $\frac{9x^{-1}}{2 - x^{-1}} - \frac{9x^{-1}}{2 + x^{-1}}$ при $x = 0,2^{-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Найдем значение выражения $ \frac{3x^{-2}}{2-x^{-2}} - \frac{3x^{-2}}{2+x^{-2}} $ при $x = 0,5^{-1}$.

Сначала упростим данное алгебраическое выражение. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей $(2-x^{-2})(2+x^{-2})$. Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, получаем:

$(2-x^{-2})(2+x^{-2}) = 2^2 - (x^{-2})^2 = 4 - x^{-4}$.

Теперь выполним вычитание дробей:

$ \frac{3x^{-2}(2+x^{-2})}{(2-x^{-2})(2+x^{-2})} - \frac{3x^{-2}(2-x^{-2})}{(2-x^{-2})(2+x^{-2})} = \frac{3x^{-2}(2+x^{-2}) - 3x^{-2}(2-x^{-2})}{4 - x^{-4}} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{6x^{-2} + 3x^{-4} - (6x^{-2} - 3x^{-4})}{4 - x^{-4}} = \frac{6x^{-2} + 3x^{-4} - 6x^{-2} + 3x^{-4}}{4 - x^{-4}} = \frac{6x^{-4}}{4 - x^{-4}} $

Теперь найдем значение $x$.

$ x = 0,5^{-1} = (\frac{5}{10})^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2 $

Подставим значение $x=2$ в упрощенное выражение. Сначала вычислим $x^{-4}$:

$ x^{-4} = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} $

Теперь подставим это значение в выражение $ \frac{6x^{-4}}{4 - x^{-4}} $:

$ \frac{6 \cdot \frac{1}{16}}{4 - \frac{1}{16}} = \frac{\frac{6}{16}}{ \frac{4 \cdot 16 - 1}{16}} = \frac{\frac{6}{16}}{\frac{64 - 1}{16}} = \frac{\frac{6}{16}}{\frac{63}{16}} $

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:

$ \frac{6}{16} \cdot \frac{16}{63} = \frac{6}{63} $

Сократим полученную дробь на 3:

$ \frac{6}{63} = \frac{2 \cdot 3}{21 \cdot 3} = \frac{2}{21} $

Ответ: $ \frac{2}{21} $

б) Найдем значение выражения $ \frac{9x^{-1}}{2-x^{-1}} - \frac{9x^{-1}}{2+x^{-1}} $ при $x = 0,2^{-1}$.

Упростим выражение, приведя дроби к общему знаменателю $(2-x^{-1})(2+x^{-1})$. По формуле разности квадратов знаменатель равен $2^2 - (x^{-1})^2 = 4 - x^{-2}$.

$ \frac{9x^{-1}(2+x^{-1})}{(2-x^{-1})(2+x^{-1})} - \frac{9x^{-1}(2-x^{-1})}{(2-x^{-1})(2+x^{-1})} = \frac{9x^{-1}(2+x^{-1}) - 9x^{-1}(2-x^{-1})}{4 - x^{-2}} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{18x^{-1} + 9x^{-2} - (18x^{-1} - 9x^{-2})}{4 - x^{-2}} = \frac{18x^{-1} + 9x^{-2} - 18x^{-1} + 9x^{-2}}{4 - x^{-2}} = \frac{18x^{-2}}{4 - x^{-2}} $

Теперь найдем значение $x$.

$ x = 0,2^{-1} = (\frac{2}{10})^{-1} = (\frac{1}{5})^{-1} = 5 $

Подставим значение $x=5$ в упрощенное выражение. Сначала вычислим $x^{-2}$:

$ x^{-2} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} $

Теперь подставим это значение в выражение $ \frac{18x^{-2}}{4 - x^{-2}} $:

$ \frac{18 \cdot \frac{1}{25}}{4 - \frac{1}{25}} = \frac{\frac{18}{25}}{ \frac{4 \cdot 25 - 1}{25}} = \frac{\frac{18}{25}}{\frac{100 - 1}{25}} = \frac{\frac{18}{25}}{\frac{99}{25}} $

Выполним деление дробей:

$ \frac{18}{25} \cdot \frac{25}{99} = \frac{18}{99} $

Сократим полученную дробь на 9:

$ \frac{18}{99} = \frac{2 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{2}{11} $

Ответ: $ \frac{2}{11} $