Номер 8.21, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 8. Степень с отрицательным целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8.21, страница 54.

Условие.

8.21 a) $(b^{-1} + a^{-1}) \cdot \left( \frac{1}{a^{-1}} + \frac{1}{b^{-1}} \right)^{-1}$

б) $(s^{-1} + t^{-1}) : \left( \frac{1}{s^{-2}} - \frac{1}{t^{-2}} \right)^{-1}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для упрощения выражения $(b^{-1} + a^{-1}) \cdot (\frac{1}{a^{-1}} + \frac{1}{b^{-1}})^{-1}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ и, соответственно, $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$.
1. Преобразуем каждое из выражений в скобках.
Первая скобка: $b^{-1} + a^{-1} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $ab$:
$\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} = \frac{a+b}{ab}$.
2. Второе выражение в скобках: $\frac{1}{a^{-1}} + \frac{1}{b^{-1}} = a + b$.
Тогда все второе выражение, возведенное в степень $-1$, будет: $(a+b)^{-1}$.
По свойству степени с отрицательным показателем: $(a+b)^{-1} = \frac{1}{a+b}$.
3. Теперь перемножим полученные результаты:
$(\frac{a+b}{ab}) \cdot \frac{1}{a+b}$.
Сократим общий множитель $(a+b)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{a+b}}{ab} \cdot \frac{1}{\cancel{a+b}} = \frac{1}{ab}$.

Ответ: $\frac{1}{ab}$.

б)

Упростим выражение $(s^{-1} + t^{-1}) : (\frac{1}{s^{-2}} - \frac{1}{t^{-2}})^{-1}$.
1. Используем свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ и $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$ для преобразования выражений в скобках.
Первая скобка: $s^{-1} + t^{-1} = \frac{1}{s} + \frac{1}{t}$.
Приведем к общему знаменателю $st$:
$\frac{1}{s} + \frac{1}{t} = \frac{t}{st} + \frac{s}{st} = \frac{s+t}{st}$.
2. Выражение, на которое мы делим: $(\frac{1}{s^{-2}} - \frac{1}{t^{-2}})^{-1}$.
Сначала упростим то, что находится внутри скобок: $\frac{1}{s^{-2}} - \frac{1}{t^{-2}} = s^2 - t^2$.
Таким образом, делитель равен $(s^2 - t^2)^{-1}$.
3. Исходное выражение принимает вид: $(\frac{s+t}{st}) : (s^2 - t^2)^{-1}$.
Деление на выражение в степени $-1$ эквивалентно умножению на само это выражение (без отрицательной степени), так как по правилу $A : B^{-1} = A : \frac{1}{B} = A \cdot B$.
Получаем: $(\frac{s+t}{st}) \cdot (s^2 - t^2)$.
4. Разложим второй множитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$s^2 - t^2 = (s-t)(s+t)$.
5. Перемножим полученные выражения:
$\frac{s+t}{st} \cdot (s-t)(s+t) = \frac{(s+t)(s-t)(s+t)}{st} = \frac{(s-t)(s+t)^2}{st}$.

Ответ: $\frac{(s-t)(s+t)^2}{st}$.