Номер 8.23, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 8. Степень с отрицательным целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8.23, страница 54.

Условие.

Упростите выражение:

8.23 a) $ \left( \frac{x + 4}{3x + 3} - (x + 1)^{-1} \right) \cdot \left( \frac{x + 1}{3} \right)^{-1} + \frac{2}{x^2 - 1} $

б) $ \left( \frac{x + 10}{5x + 25} - (x + 5)^{-1} \right) \cdot \left( \frac{x - 5}{5} \right)^{-1} - \frac{10}{x^2 - 25} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Исходное выражение: $(\frac{x+4}{3x+3} - (x+1)^{-1}) \cdot (\frac{x+1}{3})^{-1} + \frac{2}{x^2-1}$

1. Преобразуем выражения с отрицательной степенью, используя правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$(x+1)^{-1} = \frac{1}{x+1}$

$(\frac{x+1}{3})^{-1} = \frac{3}{x+1}$

Выражение принимает вид:

$(\frac{x+4}{3x+3} - \frac{1}{x+1}) \cdot \frac{3}{x+1} + \frac{2}{x^2-1}$

2. Упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Сначала вынесем общий множитель в знаменателе первой дроби: $3x+3 = 3(x+1)$.

$\frac{x+4}{3(x+1)} - \frac{1}{x+1}$

Общий знаменатель равен $3(x+1)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на 3:

$\frac{x+4}{3(x+1)} - \frac{1 \cdot 3}{3(x+1)} = \frac{x+4-3}{3(x+1)} = \frac{x+1}{3(x+1)}$

Сократим дробь на $(x+1)$, при условии, что $x+1 \ne 0$ (т.е. $x \ne -1$):

$\frac{x+1}{3(x+1)} = \frac{1}{3}$

3. Подставим результат обратно в выражение и выполним умножение:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x+1} + \frac{2}{x^2-1} = \frac{3}{3(x+1)} + \frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2-1}$

4. Выполним сложение. Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x-1)(x+1)}$

Общий знаменатель равен $(x-1)(x+1)$. Домножим первую дробь на $(x-1)$:

$\frac{1 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1+2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$

5. Сократим полученную дробь на $(x+1)$:

$\frac{1}{x-1}$

Ответ: $\frac{1}{x-1}$

б)

Исходное выражение: $(\frac{x+10}{5x+25} - (x+5)^{-1}) \cdot (\frac{x-5}{5})^{-1} - \frac{10}{x^2-25}$

1. Преобразуем выражения с отрицательной степенью:

$(x+5)^{-1} = \frac{1}{x+5}$

$(\frac{x-5}{5})^{-1} = \frac{5}{x-5}$

Выражение принимает вид:

$(\frac{x+10}{5x+25} - \frac{1}{x+5}) \cdot \frac{5}{x-5} - \frac{10}{x^2-25}$

2. Упростим выражение в скобках. Вынесем общий множитель в знаменателе первой дроби: $5x+25 = 5(x+5)$.

$\frac{x+10}{5(x+5)} - \frac{1}{x+5}$

Общий знаменатель $5(x+5)$. Домножим вторую дробь на 5:

$\frac{x+10}{5(x+5)} - \frac{1 \cdot 5}{5(x+5)} = \frac{x+10-5}{5(x+5)} = \frac{x+5}{5(x+5)}$

Сократим дробь на $(x+5)$, при условии, что $x+5 \ne 0$ (т.е. $x \ne -5$):

$\frac{x+5}{5(x+5)} = \frac{1}{5}$

3. Подставим результат обратно в выражение и выполним умножение:

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{x-5} - \frac{10}{x^2-25} = \frac{5}{5(x-5)} - \frac{10}{x^2-25} = \frac{1}{x-5} - \frac{10}{x^2-25}$

4. Выполним вычитание. Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $x^2-25 = (x-5)(x+5)$.

$\frac{1}{x-5} - \frac{10}{(x-5)(x+5)}$

Общий знаменатель $(x-5)(x+5)$. Домножим первую дробь на $(x+5)$:

$\frac{1 \cdot (x+5)}{(x-5)(x+5)} - \frac{10}{(x-5)(x+5)} = \frac{x+5-10}{(x-5)(x+5)} = \frac{x-5}{(x-5)(x+5)}$

5. Сократим полученную дробь на $(x-5)$, при условии, что $x-5 \ne 0$ (т.е. $x \ne 5$):

$\frac{1}{x+5}$

Ответ: $\frac{1}{x+5}$