Номер 8.24, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 8. Степень с отрицательным целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8.24, страница 54.

Условие.

8.24 а) $\frac{2 - a - 5(a+2)^{-1}}{5(4-a^2)^{-1} - 1}$

б) $\frac{(x^2-1)^{-1} - 3}{3(x-1) - (x+1)^{-1}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Упростим выражение $\frac{2-a-5(a+2)^{-1}}{5(4-a^2)^{-1}-1}$.

1. Сначала избавимся от отрицательных степеней, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$\frac{2-a-\frac{5}{a+2}}{\frac{5}{4-a^2}-1}$

2. Преобразуем числитель, приведя его к общему знаменателю $(a+2)$:

$2-a-\frac{5}{a+2} = \frac{(2-a)(a+2)}{a+2} - \frac{5}{a+2} = \frac{(4-a^2)-5}{a+2} = \frac{-a^2-1}{a+2} = -\frac{a^2+1}{a+2}$

3. Преобразуем знаменатель, приведя его к общему знаменателю $(4-a^2)$:

$\frac{5}{4-a^2}-1 = \frac{5}{4-a^2} - \frac{4-a^2}{4-a^2} = \frac{5-(4-a^2)}{4-a^2} = \frac{5-4+a^2}{4-a^2} = \frac{a^2+1}{4-a^2}$

4. Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{-\frac{a^2+1}{a+2}}{\frac{a^2+1}{4-a^2}} = -\frac{a^2+1}{a+2} \cdot \frac{4-a^2}{a^2+1}$

5. Сократим дробь на $(a^2+1)$ и разложим $4-a^2$ на множители по формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$-\frac{4-a^2}{a+2} = -\frac{(2-a)(2+a)}{a+2}$

6. Сократим дробь на $(a+2)$:

$-(2-a) = a-2$

Ответ: $a-2$

б)

Упростим выражение $\frac{(x^2-1)^{-1}-3}{3(x-1)-(x+1)^{-1}}$.

1. Перепишем выражение, заменив отрицательные степени на дроби:

$\frac{\frac{1}{x^2-1}-3}{3(x-1)-\frac{1}{x+1}}$

2. Упростим числитель, приведя к общему знаменателю $x^2-1$:

$\frac{1}{x^2-1}-3 = \frac{1-3(x^2-1)}{x^2-1} = \frac{1-3x^2+3}{x^2-1} = \frac{4-3x^2}{x^2-1}$

3. Упростим знаменатель, приведя к общему знаменателю $x+1$:

$3(x-1)-\frac{1}{x+1} = \frac{3(x-1)(x+1)}{x+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{3(x^2-1)-1}{x+1} = \frac{3x^2-3-1}{x+1} = \frac{3x^2-4}{x+1}$

4. Разделим полученный числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{4-3x^2}{x^2-1}}{\frac{3x^2-4}{x+1}} = \frac{4-3x^2}{x^2-1} \cdot \frac{x+1}{3x^2-4}$

5. Вынесем в числителе $-1$ за скобки: $4-3x^2 = -(3x^2-4)$. Разложим знаменатель $x^2-1 = (x-1)(x+1)$:

$\frac{-(3x^2-4)}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x+1}{3x^2-4}$

6. Сократим общие множители $(3x^2-4)$ и $(x+1)$:

$\frac{-1}{x-1}$

Данное выражение также можно записать в виде $\frac{1}{1-x}$.

Ответ: $\frac{-1}{x-1}$