Номер 8.26, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 8. Степень с отрицательным целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8.26, страница 54.

Условие.

8.26 а) $\frac{2x(2 - x)^{-1}}{1 - \left(\frac{2 - x}{2x}\right)^{-1}}$ при $x = \frac{3}{5};$

б) $\frac{3x(2 - x)^{-1}}{2 - \left(\frac{2 - x}{3x}\right)^{-1}}$ при $x = \frac{5}{7}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Сначала упростим данное выражение, чтобы облегчить вычисления.
Исходное выражение: $ \frac{2x(2-x)^{-1}}{1 - \left(\frac{2-x}{2x}\right)^{-1}} $.
Используем свойство степени $a^{-1} = \frac{1}{a}$, чтобы избавиться от отрицательных показателей.
$ (2-x)^{-1} = \frac{1}{2-x} $
$ \left(\frac{2-x}{2x}\right)^{-1} = \frac{2x}{2-x} $
Подставим эти преобразования обратно в выражение:
$ \frac{2x \cdot \frac{1}{2-x}}{1 - \frac{2x}{2-x}} = \frac{\frac{2x}{2-x}}{\frac{(2-x) - 2x}{2-x}} = \frac{\frac{2x}{2-x}}{\frac{2-3x}{2-x}} $
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую:
$ \frac{2x}{2-x} \cdot \frac{2-x}{2-3x} $
Сокращаем $(2-x)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $2-x \neq 0$):
$ \frac{2x}{2-3x} $
Теперь подставим значение $x = \frac{3}{5}$ в полученное упрощенное выражение:
$ \frac{2 \cdot \frac{3}{5}}{2 - 3 \cdot \frac{3}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{2 - \frac{9}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{10}{5} - \frac{9}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{1}{5}} $
$ \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{1} = 6 $
Ответ: 6

б)

Аналогично первому пункту, сначала упростим выражение.
Исходное выражение: $ \frac{3x(2-x)^{-1}}{2 - \left(\frac{2-x}{3x}\right)^{-1}} $.
Преобразуем выражения с отрицательной степенью:
$ (2-x)^{-1} = \frac{1}{2-x} $
$ \left(\frac{2-x}{3x}\right)^{-1} = \frac{3x}{2-x} $
Подставим преобразования в исходное выражение:
$ \frac{3x \cdot \frac{1}{2-x}}{2 - \frac{3x}{2-x}} = \frac{\frac{3x}{2-x}}{\frac{2(2-x) - 3x}{2-x}} = \frac{\frac{3x}{2-x}}{\frac{4-2x-3x}{2-x}} = \frac{\frac{3x}{2-x}}{\frac{4-5x}{2-x}} $
Разделим дроби, умножив на обратную:
$ \frac{3x}{2-x} \cdot \frac{2-x}{4-5x} $
Сократим общий множитель $(2-x)$:
$ \frac{3x}{4-5x} $
Теперь подставим значение $x = \frac{5}{7}$ в упрощенное выражение:
$ \frac{3 \cdot \frac{5}{7}}{4 - 5 \cdot \frac{5}{7}} = \frac{\frac{15}{7}}{4 - \frac{25}{7}} = \frac{\frac{15}{7}}{\frac{28}{7} - \frac{25}{7}} = \frac{\frac{15}{7}}{\frac{3}{7}} $
$ \frac{15}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{15}{3} = 5 $
Ответ: 5