Номер 8.29, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 8. Степень с отрицательным целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8.29, страница 54.

Условие.

8.29 Решите уравнение:

а) $4x^{-2} - 4x^{-1} = -1;$

б) $x^{-4} + 16 = 8x^{-2};$

в) $9x^{-2} + 6x^{-1} = -1;$

г) $x^{-4} + 81 = 18x^{-2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

В уравнении $4x^{-2} - 4x^{-1} = -1$ перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить $4x^{-2} - 4x^{-1} + 1 = 0$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \neq 0$. Данное уравнение решается методом замены переменной. Пусть $y = x^{-1}$. Тогда $x^{-2} = (x^{-1})^2 = y^2$. Подставив $y$ в уравнение, получаем квадратное уравнение: $4y^2 - 4y + 1 = 0$. Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности: $(2y - 1)^2 = 0$. Отсюда следует, что $2y - 1 = 0$, и $y = \frac{1}{2}$. Теперь произведем обратную замену: $x^{-1} = \frac{1}{2}$. По определению степени с отрицательным показателем, $x^{-1} = \frac{1}{x}$. Следовательно, $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$, что дает $x = 2$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $2$.

б)

Рассмотрим уравнение $x^{-4} + 16 = 8x^{-2}$. Перенесем все члены в одну сторону: $x^{-4} - 8x^{-2} + 16 = 0$. ОДЗ уравнения: $x \neq 0$. Введем замену $y = x^{-2}$. Тогда $x^{-4} = (x^{-2})^2 = y^2$. Уравнение принимает вид квадратного относительно $y$: $y^2 - 8y + 16 = 0$. Это выражение является полным квадратом разности: $(y - 4)^2 = 0$. Отсюда $y - 4 = 0$, и $y = 4$. Вернемся к исходной переменной: $x^{-2} = 4$. Это эквивалентно $\frac{1}{x^2} = 4$, или $x^2 = \frac{1}{4}$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два решения: $x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$. Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: $\pm\frac{1}{2}$.

в)

В уравнении $9x^{-2} + 6x^{-1} = -1$ перенесем $-1$ в левую часть: $9x^{-2} + 6x^{-1} + 1 = 0$. ОДЗ: $x \neq 0$. Сделаем замену $y = x^{-1}$, тогда $x^{-2} = y^2$. Уравнение преобразуется в $9y^2 + 6y + 1 = 0$. Левая часть представляет собой полный квадрат суммы: $(3y + 1)^2 = 0$. Отсюда $3y + 1 = 0$, что дает $y = -\frac{1}{3}$. Выполним обратную замену: $x^{-1} = -\frac{1}{3}$. Так как $x^{-1} = \frac{1}{x}$, получаем $\frac{1}{x} = -\frac{1}{3}$, откуда $x = -3$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-3$.

г)

Рассмотрим уравнение $x^{-4} + 81 = 18x^{-2}$. Перенесем $18x^{-2}$ в левую часть: $x^{-4} - 18x^{-2} + 81 = 0$. ОДЗ: $x \neq 0$. Введем замену $y = x^{-2}$, тогда $x^{-4} = y^2$. Уравнение примет вид $y^2 - 18y + 81 = 0$. Левая часть является полным квадратом разности: $(y - 9)^2 = 0$. Решая, получаем $y - 9 = 0$, то есть $y = 9$. Возвращаемся к переменной $x$: $x^{-2} = 9$. Это означает $\frac{1}{x^2} = 9$, или $x^2 = \frac{1}{9}$. Извлекая квадратный корень, находим два решения: $x = \frac{1}{3}$ и $x = -\frac{1}{3}$. Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: $\pm\frac{1}{3}$.