Номер 8.27, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 8. Степень с отрицательным целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8.27, страница 54.

Условие.

8.27 a) $\frac{2x^{-1}-y^{-1}}{2x^{-1}+y^{-1}}$, если $\frac{y}{x}=3^{-1}$;

б) $\frac{x^{-1}-3y^{-1}}{x^{-1}+3y^{-1}}$, если $\frac{x}{y}=4^{-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Сначала преобразуем данное нам условие. Степень $-1$ означает обратное число, поэтому $3^{-1} = \frac{1}{3}$. Таким образом, мы имеем соотношение $\frac{y}{x} = \frac{1}{3}$.
Теперь преобразуем исходное выражение. Используем свойство степени $a^{-1} = \frac{1}{a}$:
$\frac{2x^{-1} - y^{-1}}{2x^{-1} + y^{-1}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{2 \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{y}}{\frac{2}{x} + \frac{1}{y}}$.
Чтобы было удобнее подставить известное нам соотношение, можно умножить числитель и знаменатель дроби на $x$. Однако, так как нам дано соотношение $\frac{y}{x}$, удобнее умножить на $y$:
$\frac{(\frac{2}{x} - \frac{1}{y}) \cdot y}{(\frac{2}{x} + \frac{1}{y}) \cdot y} = \frac{\frac{2y}{x} - \frac{y}{y}}{\frac{2y}{x} + \frac{y}{y}} = \frac{2\frac{y}{x} - 1}{2\frac{y}{x} + 1}$.
Теперь подставим значение $\frac{y}{x} = \frac{1}{3}$ в полученное выражение:
$\frac{2 \cdot \frac{1}{3} - 1}{2 \cdot \frac{1}{3} + 1} = \frac{\frac{2}{3} - 1}{\frac{2}{3} + 1} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{3}{3}}{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $-\frac{1}{5}$

б) Сначала преобразуем данное условие: $\frac{x}{y} = 4^{-1} = \frac{1}{4}$.
Теперь преобразуем исходное выражение, используя свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$:
$\frac{x^{-1} - 3y^{-1}}{x^{-1} + 3y^{-1}} = \frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{y}}{\frac{1}{x} + \frac{3}{y}}$.
Чтобы использовать данное нам соотношение $\frac{x}{y}$, умножим числитель и знаменатель дроби на $x$:
$\frac{(\frac{1}{x} - \frac{3}{y}) \cdot x}{(\frac{1}{x} + \frac{3}{y}) \cdot x} = \frac{\frac{x}{x} - \frac{3x}{y}}{\frac{x}{x} + \frac{3x}{y}} = \frac{1 - 3\frac{x}{y}}{1 + 3\frac{x}{y}}$.
Теперь подставим значение $\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$ в полученное выражение:
$\frac{1 - 3 \cdot \frac{1}{4}}{1 + 3 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1 - \frac{3}{4}}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}{\frac{4}{4} + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{7} = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$