Номер 8.20, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 8. Степень с отрицательным целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8.20, страница 54.

Условие.

8.20 a) $(b^{-1} + a^{-1}) \cdot (a + b)^{-1};$

б) $(x^{-2} - y^{-2}) : (x - y);$

в) $(m^{-2} + n^{-2}) : (m^2 + n^2);$

г) $(ab^{-2} + a^{-2}b) \cdot (\frac{a^{-1}}{b})^{-2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Исходное выражение: $(b^{-1} + a^{-1}) \cdot (a + b)^{-1}$.

Для начала преобразуем выражения с отрицательными степенями, используя правило $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

$b^{-1} = \frac{1}{b}$

$a^{-1} = \frac{1}{a}$

$(a + b)^{-1} = \frac{1}{a+b}$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$(\frac{1}{b} + \frac{1}{a}) \cdot \frac{1}{a+b}$

Приведем к общему знаменателю дроби в скобках. Общий знаменатель для $a$ и $b$ - это $ab$.

$\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} = \frac{a+b}{ab}$

Теперь умножим результат на второй множитель:

$\frac{a+b}{ab} \cdot \frac{1}{a+b}$

Сократим одинаковые множители $(a+b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a+b}{ab \cdot (a+b)} = \frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$

б)

Исходное выражение: $(x^{-2} - y^{-2}) : (x - y)$.

Преобразуем степени с отрицательным показателем:

$x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

$y^{-2} = \frac{1}{y^2}$

Выражение принимает вид:

$(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}) : (x - y)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $x^2y^2$:

$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2} = \frac{y^2-x^2}{x^2y^2}$

Числитель $y^2-x^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $y^2-x^2 = (y-x)(y+x)$.

Подставим разложенный числитель и заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2} \cdot \frac{1}{x-y}$

Заметим, что $y-x = -(x-y)$. Вынесем минус за скобки:

$\frac{-(x-y)(x+y)}{x^2y^2} \cdot \frac{1}{x-y}$

Сократим общий множитель $(x-y)$:

$-\frac{x+y}{x^2y^2}$

Ответ: $-\frac{x+y}{x^2y^2}$

в)

Исходное выражение: $(m^{-2} + n^{-2}) : (m^2 + n^2)$.

Преобразуем степени с отрицательными показателями:

$m^{-2} = \frac{1}{m^2}$

$n^{-2} = \frac{1}{n^2}$

Выражение принимает вид:

$(\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2}) : (m^2 + n^2)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $m^2n^2$:

$\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} = \frac{n^2}{m^2n^2} + \frac{m^2}{m^2n^2} = \frac{m^2+n^2}{m^2n^2}$

Заменим деление на умножение на обратное число:

$\frac{m^2+n^2}{m^2n^2} \cdot \frac{1}{m^2+n^2}$

Сократим общий множитель $(m^2+n^2)$:

$\frac{1}{m^2n^2}$

Ответ: $\frac{1}{m^2n^2}$

г)

Исходное выражение: $(ab^{-2} + a^{-2}b) \cdot (\frac{a^{-1}}{b})^{-2}$.

Упростим каждый множитель по отдельности. Начнем с первого:

$ab^{-2} + a^{-2}b = \frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a^2b^2$:

$\frac{a \cdot a^2}{b^2 \cdot a^2} + \frac{b \cdot b^2}{a^2 \cdot b^2} = \frac{a^3}{a^2b^2} + \frac{b^3}{a^2b^2} = \frac{a^3+b^3}{a^2b^2}$

Теперь упростим второй множитель, используя свойства степеней $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(\frac{a^{-1}}{b})^{-2} = \frac{(a^{-1})^{-2}}{b^{-2}} = \frac{a^{(-1)\cdot(-2)}}{b^{-2}} = \frac{a^2}{b^{-2}}$

Поскольку $b^{-2} = \frac{1}{b^2}$, получаем:

$\frac{a^2}{1/b^2} = a^2 \cdot \frac{b^2}{1} = a^2b^2$

Теперь перемножим упрощенные множители:

$\frac{a^3+b^3}{a^2b^2} \cdot a^2b^2$

Сократим на $a^2b^2$:

$a^3+b^3$

Ответ: $a^3+b^3$