Номер 8.19, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 8. Степень с отрицательным целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8.19, страница 53.

Условие.

8.19 а) $ab^{-1} + a^{-1}b$;

б) $c^{-1}d^{2} - c^{2}d^{-1}$;

в) $p^{2}q^{2}(p^{-2} - q^{-2})$;

г) $mn^{-2} - m^{-2}n$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Исходное выражение: $ab^{-1} + a^{-1}b$.
Чтобы упростить выражение, используем свойство степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
Преобразуем каждое слагаемое в дробь:
$ab^{-1} = a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$
$a^{-1}b = \frac{1}{a} \cdot b = \frac{b}{a}$
Теперь сложим полученные дроби:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$
Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю, который равен $ab$.
$\frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{b \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$

Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{ab}$

б)

Исходное выражение: $c^{-1}d^2 - c^2d^{-1}$.
Применим свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ к каждому члену выражения:
$c^{-1}d^2 = \frac{1}{c} \cdot d^2 = \frac{d^2}{c}$
$c^2d^{-1} = c^2 \cdot \frac{1}{d} = \frac{c^2}{d}$
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{d^2}{c} - \frac{c^2}{d}$
Общий знаменатель для этих дробей - $cd$. Приведем дроби к нему:
$\frac{d^2 \cdot d}{c \cdot d} - \frac{c^2 \cdot c}{d \cdot c} = \frac{d^3}{cd} - \frac{c^3}{cd} = \frac{d^3 - c^3}{cd}$

Ответ: $\frac{d^3 - c^3}{cd}$

в)

Исходное выражение: $p^2q^2(p^{-2} - q^{-2})$.
Для упрощения раскроем скобки, умножив множитель $p^2q^2$ на каждый член в скобках:
$p^2q^2 \cdot p^{-2} - p^2q^2 \cdot q^{-2}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):
$p^{2+(-2)}q^2 - p^2q^{2+(-2)} = p^0q^2 - p^2q^0$
Любое число в нулевой степени равно единице ($x^0=1$, при $x \neq 0$):
$1 \cdot q^2 - p^2 \cdot 1 = q^2 - p^2$

Ответ: $q^2 - p^2$

г)

Исходное выражение: $mn^{-2} - m^{-2}n$.
Используем свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ для преобразования выражения:
$mn^{-2} = m \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{m}{n^2}$
$m^{-2}n = \frac{1}{m^2} \cdot n = \frac{n}{m^2}$
Теперь вычтем полученные дроби:
$\frac{m}{n^2} - \frac{n}{m^2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $m^2n^2$:
$\frac{m \cdot m^2}{n^2 \cdot m^2} - \frac{n \cdot n^2}{m^2 \cdot n^2} = \frac{m^3}{m^2n^2} - \frac{n^3}{m^2n^2} = \frac{m^3 - n^3}{m^2n^2}$

Ответ: $\frac{m^3 - n^3}{m^2n^2}$