Номер 8.12, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 8. Степень с отрицательным целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8.12, страница 53.

Условие.

Найдите значение выражения:

8.12 а) $ (64 \cdot 4^{-5})^2 $;

б) $ \frac{5^{-3} \cdot 5^{-1}}{5^{-6}} $;

в) $ (128 \cdot 2^{-6})^{-2} $;

г) $ \frac{3^{-9}}{3^{-2} \cdot 3^{-6}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для нахождения значения выражения $(64 \cdot 4^{-5})^2$ сначала преобразуем число 64 в степень с основанием 4. Так как $64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$, то выражение можно переписать в виде: $(4^3 \cdot 4^{-5})^2$.
Далее воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Упростим выражение в скобках:
$4^3 \cdot 4^{-5} = 4^{3 + (-5)} = 4^{-2}$.
Теперь исходное выражение выглядит как $(4^{-2})^2$. Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(4^{-2})^2 = 4^{-2 \cdot 2} = 4^{-4}$.
Наконец, вычислим значение, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$4^{-4} = \frac{1}{4^4} = \frac{1}{256}$.
Ответ: $\frac{1}{256}$.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{5^{-3} \cdot 5^{-1}}{5^{-6}}$, сначала выполним умножение в числителе. По свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^{-3} \cdot 5^{-1} = 5^{-3 + (-1)} = 5^{-4}$.
Теперь выражение принимает вид $\frac{5^{-4}}{5^{-6}}$.
Далее используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{5^{-4}}{5^{-6}} = 5^{-4 - (-6)} = 5^{-4 + 6} = 5^2$.
Вычисляем результат:
$5^2 = 25$.
Ответ: $25$.

в) Для вычисления $(128 \cdot 2^{-6})^{-2}$ представим число 128 как степень с основанием 2. Так как $128 = 2^7$, получаем:
$(2^7 \cdot 2^{-6})^{-2}$.
Упростим выражение в скобках, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^7 \cdot 2^{-6} = 2^{7 + (-6)} = 2^1 = 2$.
Теперь возведем результат в степень -2:
$(2)^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) Чтобы найти значение дроби $\frac{3^{-9}}{3^{-2} \cdot 3^{-6}}$, начнем с упрощения знаменателя. По свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{-2} \cdot 3^{-6} = 3^{-2 + (-6)} = 3^{-8}$.
Теперь выражение выглядит как $\frac{3^{-9}}{3^{-8}}$.
Применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{3^{-9}}{3^{-8}} = 3^{-9 - (-8)} = 3^{-9 + 8} = 3^{-1}$.
Вычисляем окончательное значение:
$3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.