Номер 8.9, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 8. Степень с отрицательным целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8.9, страница 52.

Условие.

8.9 Представьте заданное число в виде степени некоторого простого числа:

а) $\frac{1}{729}$;

б) $\frac{1}{343}$;

в) $\frac{1}{625}$;

г) $\frac{1}{1024}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы представить число $\frac{1}{729}$ в виде степени некоторого простого числа, необходимо сначала найти простое число, степенью которого является знаменатель 729. Для этого разложим 729 на простые множители.
Число 729 нечетное, поэтому не делится на 2. Проверим делимость на 3. Сумма цифр числа $7+2+9=18$, 18 делится на 3, значит и 729 делится на 3.
$729 = 3 \cdot 243$
$243 = 3 \cdot 81$
$81 = 3 \cdot 27$
$27 = 3 \cdot 9$
$9 = 3 \cdot 3$
Таким образом, $729 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^6$.
Число 3 является простым.
Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$.
$\frac{1}{729} = \frac{1}{3^6} = 3^{-6}$.
Ответ: $3^{-6}$.

б) Чтобы представить число $\frac{1}{343}$ в виде степени простого числа, разложим знаменатель 343 на простые множители.
Проверим делимость на простые числа. Сумма цифр $3+4+3=10$, не делится на 3. Число не оканчивается на 0 или 5, значит не делится на 5. Проверим делимость на 7:
$343 : 7 = 49$
$49 = 7 \cdot 7$
Следовательно, $343 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^3$.
Число 7 является простым.
Используя свойство степени $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:
$\frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = 7^{-3}$.
Ответ: $7^{-3}$.

в) Чтобы представить число $\frac{1}{625}$ в виде степени простого числа, разложим знаменатель 625 на простые множители.
Число 625 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5.
$625 = 5 \cdot 125$
$125 = 5 \cdot 25$
$25 = 5 \cdot 5$
Таким образом, $625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.
Число 5 является простым.
Применяем свойство степени с отрицательным показателем:
$\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}$.
Ответ: $5^{-4}$.

г) Чтобы представить число $\frac{1}{1024}$ в виде степени простого числа, разложим знаменатель 1024 на простые множители.
Число 1024 является четным, поэтому оно делится на 2.
$1024 = 2 \cdot 512 = 2 \cdot 2 \cdot 256 = 2^2 \cdot 2 \cdot 128 = 2^3 \cdot 2 \cdot 64 = 2^4 \cdot 2 \cdot 32 = 2^5 \cdot 2 \cdot 16 = 2^6 \cdot 2 \cdot 8 = 2^7 \cdot 2 \cdot 4 = 2^8 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{10}$.
Следовательно, $1024 = 2^{10}$.
Число 2 является простым.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем:
$\frac{1}{1024} = \frac{1}{2^{10}} = 2^{-10}$.
Ответ: $2^{-10}$.