Номер 8.32, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 8. Степень с отрицательным целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8.32, страница 55.

Условие.

8.32 $(\frac{a^{-n} - b^{-n}}{a^{-2n} - a^{-n}b^{-n} + b^{-2n}})^{-1} + (\frac{a^{-n} + b^{-n}}{a^{-2n} + a^{-n}b^{-n} + b^{-2n}})^{-1} = \frac{2a^{-n}b^{2n}}{b^{2n} - a^{2n}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

8.32

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть (ЛЧ) и покажем, что она равна правой части (ПЧ).

Исходное выражение для левой части:

$ \text{ЛЧ} = \left( \frac{a^{-n} - b^{-n}}{a^{-2n} - a^{-n}b^{-n} + b^{-2n}} \right)^{-1} + \left( \frac{a^{-n} + b^{-n}}{a^{-2n} + a^{-n}b^{-n} + b^{-2n}} \right)^{-1} $

Степень $-1$ означает, что мы должны взять обратные дроби (перевернуть их):

$ \text{ЛЧ} = \frac{a^{-2n} - a^{-n}b^{-n} + b^{-2n}}{a^{-n} - b^{-n}} + \frac{a^{-2n} + a^{-n}b^{-n} + b^{-2n}}{a^{-n} + b^{-n}} $

Чтобы сложить эти две дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение их знаменателей: $(a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n})$.

Используя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, где $x = a^{-n}$ и $y = b^{-n}$, получаем:

$(a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n}) = (a^{-n})^2 - (b^{-n})^2 = a^{-2n} - b^{-2n}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:

$ \text{ЛЧ} = \frac{(a^{-2n} - a^{-n}b^{-n} + b^{-2n})(a^{-n} + b^{-n}) + (a^{-2n} + a^{-n}b^{-n} + b^{-2n})(a^{-n} - b^{-n})}{a^{-2n} - b^{-2n}} $

Упростим числитель. Для этого воспользуемся формулами суммы и разности кубов:

$ (x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 $

$ (x-y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3 $

В нашем случае $x = a^{-n}$ и $y = b^{-n}$.

Первое слагаемое в числителе соответствует формуле суммы кубов:

$ (a^{-2n} - a^{-n}b^{-n} + b^{-2n})(a^{-n} + b^{-n}) = (a^{-n})^3 + (b^{-n})^3 = a^{-3n} + b^{-3n} $

Второе слагаемое в числителе соответствует формуле разности кубов:

$ (a^{-2n} + a^{-n}b^{-n} + b^{-2n})(a^{-n} - b^{-n}) = (a^{-n})^3 - (b^{-n})^3 = a^{-3n} - b^{-3n} $

Сложим полученные выражения, чтобы найти весь числитель:

$ (a^{-3n} + b^{-3n}) + (a^{-3n} - b^{-3n}) = 2a^{-3n} $

Теперь выражение для левой части выглядит так:

$ \text{ЛЧ} = \frac{2a^{-3n}}{a^{-2n} - b^{-2n}} $

Преобразуем это выражение, чтобы оно совпало с правой частью тождества ПЧ = $ \frac{2a^{-n}b^{2n}}{b^{2n} - a^{2n}} $. Для этого избавимся от отрицательных степеней, используя свойство $z^{-k} = \frac{1}{z^k}$:

$ \text{ЛЧ} = \frac{\frac{2}{a^{3n}}}{\frac{1}{a^{2n}} - \frac{1}{b^{2n}}} $

Упростим знаменатель в большой дроби:

$ \frac{1}{a^{2n}} - \frac{1}{b^{2n}} = \frac{b^{2n} - a^{2n}}{a^{2n}b^{2n}} $

Подставим это обратно в выражение для ЛЧ:

$ \text{ЛЧ} = \frac{\frac{2}{a^{3n}}}{\frac{b^{2n} - a^{2n}}{a^{2n}b^{2n}}} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей:

$ \text{ЛЧ} = \frac{2}{a^{3n}} \cdot \frac{a^{2n}b^{2n}}{b^{2n} - a^{2n}} = \frac{2a^{2n}b^{2n}}{a^{3n}(b^{2n} - a^{2n})} $

Сократим степени $a$: $ \frac{a^{2n}}{a^{3n}} = a^{2n-3n} = a^{-n} $.

$ \text{ЛЧ} = \frac{2a^{-n}b^{2n}}{b^{2n} - a^{2n}} $

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано, так как в результате упрощения левая часть оказалась равна правой части: $ \frac{2a^{-n}b^{2n}}{b^{2n} - a^{2n}} = \frac{2a^{-n}b^{2n}}{b^{2n} - a^{2n}} $.