Номер 9.3, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 9. Комбинаторные и вероятностные задачи. Дерево вариантов и правило нахождения вероятности. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 9.3, страница 55.

Условие.

9.3 Знаменатель дроби выбирают из чисел -10, -4, 4, 10, а её числитель отличается от квадрата выбранного знаменателя на 3.

а) Выпишите все возможные значения числителя дроби.

б) Сколько всего дробей можно составить?

в) Выпишите все полученные положительные числа.

г) Укажите наибольшее отрицательное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) По условию, знаменатель дроби $d$ выбирается из множества $\{-10, -4, 4, 10\}$. Числитель дроби $n$ отличается от квадрата знаменателя $d^2$ на 3. Это означает, что $n = d^2 + 3$ или $n = d^2 - 3$.
Рассмотрим все возможные знаменатели:

• Если $d = -10$, то $d^2 = (-10)^2 = 100$. Возможные числители: $n = 100 + 3 = 103$ и $n = 100 - 3 = 97$.
• Если $d = -4$, то $d^2 = (-4)^2 = 16$. Возможные числители: $n = 16 + 3 = 19$ и $n = 16 - 3 = 13$.
• Если $d = 4$, то $d^2 = 4^2 = 16$. Возможные числители: $n = 16 + 3 = 19$ и $n = 16 - 3 = 13$.
• Если $d = 10$, то $d^2 = 10^2 = 100$. Возможные числители: $n = 100 + 3 = 103$ и $n = 100 - 3 = 97$.

Таким образом, уникальные возможные значения числителя: 13, 19, 97, 103.
Ответ: 13, 19, 97, 103.

б) Для каждого из 4 возможных знаменателей ($\{-10, -4, 4, 10\}$) существует 2 варианта числителя. Общее количество дробей равно произведению количества вариантов для знаменателя на количество вариантов для числителя для каждого знаменателя. Количество дробей = $4 \times 2 = 8$.
Вот все возможные дроби: $\frac{103}{-10}$, $\frac{97}{-10}$, $\frac{19}{-4}$, $\frac{13}{-4}$, $\frac{19}{4}$, $\frac{13}{4}$, $\frac{103}{10}$, $\frac{97}{10}$.
Ответ: 8.

в) Положительное число получается, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Все возможные числители (13, 19, 97, 103) являются положительными. Следовательно, для получения положительной дроби знаменатель также должен быть положительным. Возможные положительные знаменатели: 4 и 10.
Для $d = 4$ получаем дроби: $\frac{19}{4}$ и $\frac{13}{4}$.
Для $d = 10$ получаем дроби: $\frac{103}{10}$ и $\frac{97}{10}$.
Ответ: $\frac{13}{4}, \frac{19}{4}, \frac{97}{10}, \frac{103}{10}$.

г) Отрицательное число получается, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как все числители положительны, знаменатель должен быть отрицательным. Возможные отрицательные знаменатели: -10 и -4.
Для $d = -10$ получаем дроби: $\frac{103}{-10} = -10.3$ и $\frac{97}{-10} = -9.7$.
Для $d = -4$ получаем дроби: $\frac{19}{-4} = -4.75$ и $\frac{13}{-4} = -3.25$.
Получили следующие отрицательные числа: $-10.3, -9.7, -4.75, -3.25$. Наибольшим из этих чисел является то, которое ближе всего к нулю, то есть $-3.25$.
Ответ: $-\frac{13}{4}$.