Номер 8.28, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 8. Степень с отрицательным целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8.28, страница 54.

Условие.

8.28 а) $ \frac{x^{-1} - 3y^{-1}}{x^{-2} - 9y^{-2}} \cdot x^{-1}$, если $ \frac{x}{y} = 2^{-1}$;

б) $ \frac{x^{-1} + 2y^{-1}}{x^{-2} - 4y^{-2}} \cdot x^{-1}$, если $ \frac{y}{x} = 5^{-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Сначала упростим данное выражение. Для этого преобразуем степени с отрицательными показателями и воспользуемся формулой разности квадратов в знаменателе.

Исходное выражение: $\frac{x^{-1} - 3y^{-1}}{x^{-2} - 9y^{-2}} \cdot x^{-1}$

Знаменатель дроби $x^{-2} - 9y^{-2}$ можно представить как разность квадратов: $(x^{-1})^2 - (3y^{-1})^2$.

Применяя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$\frac{x^{-1} - 3y^{-1}}{(x^{-1} - 3y^{-1})(x^{-1} + 3y^{-1})} \cdot x^{-1}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(x^{-1} - 3y^{-1})$:

$\frac{1}{x^{-1} + 3y^{-1}} \cdot x^{-1} = \frac{x^{-1}}{x^{-1} + 3y^{-1}}$

Теперь избавимся от отрицательных степеней, используя определение $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{3}{y}}$

Чтобы упростить эту сложную дробь, умножим ее числитель и знаменатель на $xy$:

$\frac{\frac{1}{x} \cdot xy}{(\frac{1}{x} + \frac{3}{y}) \cdot xy} = \frac{y}{y + 3x}$

Теперь воспользуемся условием задачи: $\frac{x}{y} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Чтобы подставить это значение в наше упрощенное выражение, разделим числитель и знаменатель на $y$:

$\frac{y}{y + 3x} = \frac{\frac{y}{y}}{\frac{y}{y} + \frac{3x}{y}} = \frac{1}{1 + 3\frac{x}{y}}$

Подставляем значение $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{1 + 3 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{1}{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

б)

Упростим выражение по аналогии с пунктом а). Знаменатель также представляет собой разность квадратов.

Исходное выражение: $\frac{x^{-1} + 2y^{-1}}{x^{-2} - 4y^{-2}} \cdot x^{-1}$

Представим знаменатель $x^{-2} - 4y^{-2}$ как $(x^{-1})^2 - (2y^{-1})^2$ и применим формулу разности квадратов:

$\frac{x^{-1} + 2y^{-1}}{(x^{-1} - 2y^{-1})(x^{-1} + 2y^{-1})} \cdot x^{-1}$

Сокращаем дробь на $(x^{-1} + 2y^{-1})$:

$\frac{1}{x^{-1} - 2y^{-1}} \cdot x^{-1} = \frac{x^{-1}}{x^{-1} - 2y^{-1}}$

Перейдем к положительным степеням:

$\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{2}{y}}$

Умножим числитель и знаменатель на $xy$:

$\frac{\frac{1}{x} \cdot xy}{(\frac{1}{x} - \frac{2}{y}) \cdot xy} = \frac{y}{y - 2x}$

Теперь используем данное условие: $\frac{y}{x} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Чтобы подставить это значение, разделим числитель и знаменатель упрощенного выражения на $x$:

$\frac{y}{y - 2x} = \frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x} - \frac{2x}{x}} = \frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x} - 2}$

Подставляем значение $\frac{y}{x} = \frac{1}{5}$:

$\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5} - 2} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5} - \frac{10}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{-\frac{9}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{5}{9}\right) = -\frac{1}{9}$

Ответ: $-\frac{1}{9}$