Номер 8.30, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 8. Степень с отрицательным целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8.30, страница 55.

Условие.

Докажите тождество:

8.30

$\left( \frac{y^2(xy^{-1} - 1)^2}{x(1 + x^{-1}y)^2} \cdot \frac{y^2(x^{-2} + y^{-2})}{x(xy^{-1} + x^{-1}y)} \right) : \frac{1 - x^{-1}y}{xy^{-1} + 1} = \frac{x - y}{x + y}$

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим все выражения с отрицательной степенью, используя правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Исходное выражение:

$ \left( \frac{y^2(xy^{-1}-1)^2}{x(1+x^{-1}y)^2} \cdot \frac{y^2(x^{-2}+y^{-2})}{x(xy^{-1}+x^{-1}y)} \right) : \frac{1-x^{-1}y}{xy^{-1}+1} $

После замены отрицательных степеней:

$ \left( \frac{y^2(\frac{x}{y}-1)^2}{x(1+\frac{y}{x})^2} \cdot \frac{y^2(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})}{x(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})} \right) : \frac{1-\frac{y}{x}}{\frac{x}{y}+1} $

Теперь будем последовательно упрощать каждую часть выражения.

1. Первый множитель в скобках:

Приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе дроби:

$ \frac{y^2(\frac{x-y}{y})^2}{x(\frac{x+y}{x})^2} = \frac{y^2 \frac{(x-y)^2}{y^2}}{x \frac{(x+y)^2}{x^2}} = \frac{(x-y)^2}{\frac{(x+y)^2}{x}} = \frac{x(x-y)^2}{(x+y)^2} $

2. Второй множитель в скобках:

Также приведем к общему знаменателю:

$ \frac{y^2(\frac{y^2+x^2}{x^2y^2})}{x(\frac{x^2+y^2}{xy})} = \frac{\frac{y^2(x^2+y^2)}{x^2y^2}}{\frac{x(x^2+y^2)}{xy}} = \frac{\frac{x^2+y^2}{x^2}}{\frac{x^2+y^2}{y}} = \frac{x^2+y^2}{x^2} \cdot \frac{y}{x^2+y^2} = \frac{y}{x^2} $

3. Результат умножения в скобках:

Перемножим результаты шагов 1 и 2:

$ \frac{x(x-y)^2}{(x+y)^2} \cdot \frac{y}{x^2} = \frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2} $

4. Делитель:

Упростим третье выражение:

$ \frac{1-\frac{y}{x}}{\frac{x}{y}+1} = \frac{\frac{x-y}{x}}{\frac{x+y}{y}} = \frac{x-y}{x} \cdot \frac{y}{x+y} = \frac{y(x-y)}{x(x+y)} $

5. Финальное деление:

Разделим результат шага 3 на результат шага 4, для этого умножим на обратную дробь:

$ \frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2} : \frac{y(x-y)}{x(x+y)} = \frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2} \cdot \frac{x(x+y)}{y(x-y)} $

Сгруппируем множители:

$ \frac{x \cdot y \cdot (x-y)^2 \cdot (x+y)}{x \cdot y \cdot (x-y) \cdot (x+y)^2} $

Сокращаем общие множители $x$ и $y$:

$ \frac{(x-y)^2 (x+y)}{(x-y) (x+y)^2} $

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, сокращаем дальше:

$ (x-y)^{2-1} \cdot (x+y)^{1-2} = (x-y)^1 \cdot (x+y)^{-1} = \frac{x-y}{x+y} $

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равна правой части: $ \frac{x-y}{x+y} = \frac{x-y}{x+y} $.

Ответ: Тождество доказано.