Страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

15.31 Вычислите, не используя таблицу квадратов чисел и микрокалькулятор:

а) $\sqrt{4356}$;

б) $\sqrt{8464}$;

в) $\sqrt{3844}$;

г) $\sqrt{9025}$.

а) Для вычисления $\sqrt{4356}$ определим, между какими квадратами целых чисел, кратных десяти, находится подкоренное выражение. Мы знаем, что $60^2 = 3600$ и $70^2 = 4900$. Поскольку $3600 < 4356 < 4900$, то искомый корень является целым числом, большим 60 и меньшим 70. Последняя цифра числа 4356 — это 6. Квадрат целого числа может оканчиваться на 6, только если само число оканчивается на 4 (так как $4^2=16$) или на 6 (так как $6^2=36$). Таким образом, возможными ответами являются 64 или 66. Проверим оба варианта.
Проверка 64: $64^2 = (60+4)^2 = 60^2 + 2 \cdot 60 \cdot 4 + 4^2 = 3600 + 480 + 16 = 4096$.
Проверка 66: $66^2 = (60+6)^2 = 60^2 + 2 \cdot 60 \cdot 6 + 6^2 = 3600 + 720 + 36 = 4356$.
Следовательно, $\sqrt{4356} = 66$.
Ответ: 66.

б) Для вычисления $\sqrt{8464}$ найдем границы. Мы знаем, что $90^2 = 8100$ и $100^2 = 10000$. Так как $8100 < 8464 < 10000$, то корень находится между 90 и 100. Последняя цифра числа 8464 — это 4. Квадрат целого числа оканчивается на 4, если само число оканчивается на 2 (так как $2^2=4$) или на 8 (так как $8^2=64$). Значит, возможные ответы — это 92 или 98. Число 8464 ближе к 8100 ($8464 - 8100 = 364$), чем к 10000 ($10000 - 8464 = 1536$), поэтому, скорее всего, корень — это 92. Проверим: $92^2 = (90+2)^2 = 90^2 + 2 \cdot 90 \cdot 2 + 2^2 = 8100 + 360 + 4 = 8464$. Это верный результат.
Следовательно, $\sqrt{8464} = 92$.
Ответ: 92.

в) Для вычисления $\sqrt{3844}$ определим границы. Мы знаем, что $60^2 = 3600$ и $70^2 = 4900$. Так как $3600 < 3844 < 4900$, то корень находится между 60 и 70. Последняя цифра числа 3844 — это 4. Квадрат целого числа оканчивается на 4, если само число оканчивается на 2 (так как $2^2=4$) или на 8 (так как $8^2=64$). Значит, возможные ответы — это 62 или 68. Число 3844 ближе к 3600 ($3844 - 3600 = 244$), чем к 4900 ($4900 - 3844 = 1056$), поэтому вероятнее, что корень — это 62. Проверим: $62^2 = (60+2)^2 = 60^2 + 2 \cdot 60 \cdot 2 + 2^2 = 3600 + 240 + 4 = 3844$. Это верный результат.
Следовательно, $\sqrt{3844} = 62$.
Ответ: 62.

г) Для вычисления $\sqrt{9025}$ определим границы. Мы знаем, что $90^2 = 8100$ и $100^2 = 10000$. Так как $8100 < 9025 < 10000$, то корень находится между 90 и 100. Последняя цифра числа 9025 — это 5. Квадрат целого числа оканчивается на 5, только если само число оканчивается на 5 (так как $5^2=25$). Значит, единственно возможный ответ — это 95. Для проверки воспользуемся свойством возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5: чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся на 5, нужно число его десятков умножить на следующее за ним натуральное число и к результату приписать 25. Для числа 95, число десятков равно 9. $9 \cdot (9+1) = 9 \cdot 10 = 90$. Приписав 25, получаем 9025.
Следовательно, $\sqrt{9025} = 95$.
Ответ: 95.

15.32 Зная, что $\sqrt{60} \approx 7,7$, найдите приближённое значение выражения:

а) $\sqrt{0,6}$;

б) $\sqrt{240}$;

в) $\sqrt{6000}$;

г) $\sqrt{540}$.

а) Чтобы найти приближённое значение $\sqrt{0,6}$, преобразуем подкоренное выражение так, чтобы можно было использовать известное значение $\sqrt{60} \approx 7,7$.

Представим 0,6 как частное, в котором присутствует число 60:

$0,6 = \frac{60}{100}$

Теперь извлечём квадратный корень, используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{0,6} = \sqrt{\frac{60}{100}} = \frac{\sqrt{60}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{60}}{10}$

Подставим данное в условии приближённое значение $\sqrt{60} \approx 7,7$:

$\frac{\sqrt{60}}{10} \approx \frac{7,7}{10} = 0,77$

Ответ: 0,77

б) Чтобы найти приближённое значение $\sqrt{240}$, преобразуем подкоренное выражение.

Разложим число 240 на множители так, чтобы одним из них было число 60:

$240 = 4 \cdot 60$

Теперь извлечём квадратный корень, используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:

$\sqrt{240} = \sqrt{4 \cdot 60} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{60} = 2\sqrt{60}$

Подставим известное приближённое значение $\sqrt{60} \approx 7,7$:

$2\sqrt{60} \approx 2 \cdot 7,7 = 15,4$

Ответ: 15,4

в) Чтобы найти приближённое значение $\sqrt{6000}$, преобразуем подкоренное выражение.

Разложим число 6000 на множители так, чтобы одним из них было число 60:

$6000 = 100 \cdot 60$

Извлечём квадратный корень:

$\sqrt{6000} = \sqrt{100 \cdot 60} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{60} = 10\sqrt{60}$

Подставим известное приближённое значение $\sqrt{60} \approx 7,7$:

$10\sqrt{60} \approx 10 \cdot 7,7 = 77$

Ответ: 77

г) Чтобы найти приближённое значение $\sqrt{540}$, преобразуем подкоренное выражение.

Разложим число 540 на множители так, чтобы одним из них было число 60:

$540 = 9 \cdot 60$

Извлечём квадратный корень:

$\sqrt{540} = \sqrt{9 \cdot 60} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{60} = 3\sqrt{60}$

Подставим известное приближённое значение $\sqrt{60} \approx 7,7$:

$3\sqrt{60} \approx 3 \cdot 7,7 = 23,1$

Ответ: 23,1

15.33 Зная, что $\sqrt{90} \approx 9,5$, найдите приближённое значение выражения:

а) $\sqrt{810}$;

б) $\sqrt{360} + 2$;

в) $\sqrt{2250}$;

г) $\sqrt{9000} - 4$.

Для решения задачи используется данное в условии приближенное значение $\sqrt{90} \approx 9,5$ и свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для неотрицательных $a$ и $b$. Основная идея заключается в том, чтобы представить подкоренное выражение в виде произведения, одним из множителей которого является 90, а другим — полный квадрат.

а) $\sqrt{810}$

Представим число 810 как произведение чисел 9 и 90, так как 9 является полным квадратом.

$\sqrt{810} = \sqrt{9 \cdot 90}$

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{9 \cdot 90} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{90} = 3 \cdot \sqrt{90}$

Подставим известное приближенное значение $\sqrt{90} \approx 9,5$:

$3 \cdot \sqrt{90} \approx 3 \cdot 9,5 = 28,5$

Ответ: 28,5.

б) $\sqrt{360} + 2$

Сначала найдем приближенное значение $\sqrt{360}$. Представим 360 как произведение 4 и 90.

$\sqrt{360} = \sqrt{4 \cdot 90} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{90} = 2 \cdot \sqrt{90}$

Подставим приближенное значение:

$2 \cdot \sqrt{90} \approx 2 \cdot 9,5 = 19$

Теперь выполним сложение:

$\sqrt{360} + 2 \approx 19 + 2 = 21$

Ответ: 21.

в) $\sqrt{2250}$

Представим число 2250 как произведение 25 и 90.

$\sqrt{2250} = \sqrt{25 \cdot 90} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{90} = 5 \cdot \sqrt{90}$

Подставим приближенное значение $\sqrt{90} \approx 9,5$:

$5 \cdot \sqrt{90} \approx 5 \cdot 9,5 = 47,5$

Ответ: 47,5.

г) $\sqrt{9000} - 4$

Сначала найдем приближенное значение $\sqrt{9000}$. Представим 9000 как произведение 100 и 90.

$\sqrt{9000} = \sqrt{100 \cdot 90} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{90} = 10 \cdot \sqrt{90}$

Подставим приближенное значение:

$10 \cdot \sqrt{90} \approx 10 \cdot 9,5 = 95$

Теперь выполним вычитание:

$\sqrt{9000} - 4 \approx 95 - 4 = 91$

Ответ: 91.

15.34 Представьте в виде произведения квадратных корней выражение $\sqrt{xy}$, если:

а) $x > 0, y > 0$;

б) $x < 0, y < 0$.

а)

По условию дано, что $x > 0$ и $y > 0$.
Для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо свойство арифметического квадратного корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
Поскольку $x$ и $y$ являются положительными числами, они удовлетворяют условиям $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Следовательно, мы можем напрямую применить это свойство к выражению $\sqrt{xy}$.
Таким образом, получаем:
$\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$.

Ответ: $\sqrt{x}\sqrt{y}$

б)

По условию дано, что $x < 0$ и $y < 0$.
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому подкоренное выражение $xy$ будет положительным ($xy > 0$), и корень $\sqrt{xy}$ определен в множестве действительных чисел.
Однако, в данном случае нельзя напрямую применять свойство $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, так как выражения $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$ не определены для отрицательных $x$ и $y$ в действительных числах.
Чтобы представить $\sqrt{xy}$ в виде произведения корней, необходимо преобразовать подкоренное выражение так, чтобы оно состояло из неотрицательных множителей.
Если $x < 0$, то число $-x$ будет положительным ($-x > 0$).
Если $y < 0$, то число $-y$ будет положительным ($-y > 0$).
Мы можем представить произведение $xy$ следующим образом: $xy = (-1) \cdot (-x) \cdot (-1) \cdot (-y) = (-x)(-y)$.
Подставим это преобразованное произведение в исходное выражение:
$\sqrt{xy} = \sqrt{(-x)(-y)}$.
Теперь подкоренное выражение представляет собой произведение двух положительных чисел ($-x$ и $-y$), и мы можем применить свойство корня из произведения:
$\sqrt{(-x)(-y)} = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{-y}$.

Ответ: $\sqrt{-x}\sqrt{-y}$

15.35 Подберите две пары значений переменных, при которых заданное равенство верно, и две пары значений переменных, при которых заданное равенство неверно:

а) $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$;

б) $\sqrt{ab} = a\sqrt{b}$;

в) $\sqrt{a - b} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$;

г) $\sqrt{ab} = ab$.

а) $ \sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $

Для того чтобы данное равенство имело смысл, переменные $a$ и $b$ должны быть неотрицательными ($a \ge 0, b \ge 0$). Возведем обе части равенства в квадрат:

$ (\sqrt{a+b})^2 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 $

$ a+b = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 $

$ a+b = a + 2\sqrt{ab} + b $

Вычтем из обеих частей $a+b$:

$ 0 = 2\sqrt{ab} $

Это уравнение выполняется только тогда, когда $ab=0$, то есть когда хотя бы одна из переменных равна нулю.

Пары значений, при которых равенство верно:

1. Пусть $a = 9, b = 0$. Тогда $ \sqrt{9+0} = \sqrt{9} = 3 $ и $ \sqrt{9} + \sqrt{0} = 3+0 = 3 $. Равенство $3=3$ верно.

2. Пусть $a = 0, b = 16$. Тогда $ \sqrt{0+16} = \sqrt{16} = 4 $ и $ \sqrt{0} + \sqrt{16} = 0+4 = 4 $. Равенство $4=4$ верно.

Пары значений, при которых равенство неверно:

Для этого достаточно выбрать любые два положительных числа.

1. Пусть $a = 1, b = 4$. Тогда $ \sqrt{1+4} = \sqrt{5} $ и $ \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1+2 = 3 $. Равенство $\sqrt{5} = 3$ неверно.

2. Пусть $a = 9, b = 16$. Тогда $ \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 $ и $ \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3+4 = 7 $. Равенство $5=7$ неверно.

Ответ: Верно, например, при $a=9, b=0$ и $a=0, b=16$. Неверно, например, при $a=1, b=4$ и $a=9, b=16$.

б) $ \sqrt{ab} = a\sqrt{b} $

Область определения выражения требует, чтобы $ab \ge 0$ и $b \ge 0$. Если $b>0$, то для выполнения условия $ab \ge 0$ необходимо, чтобы $a \ge 0$. Если $b=0$, то $a$ может быть любым числом.

Рассмотрим два случая:

1. Если $b=0$, равенство принимает вид $ \sqrt{a \cdot 0} = a\sqrt{0} $, то есть $0=0$. Равенство верно для любого $a$.

2. Если $b>0$ (и, следовательно, $a \ge 0$), мы можем использовать свойство корня $ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} $. Равенство примет вид $ \sqrt{a}\sqrt{b} = a\sqrt{b} $. Так как $b>0$, то $\sqrt{b} \ne 0$, и мы можем разделить обе части на $ \sqrt{b} $, получив $ \sqrt{a} = a $. Это уравнение верно при $a=0$ или $a=1$.

Итак, равенство верно, если $b=0$, или $a=0$, или $a=1$ (при $b>0$).

Пары значений, при которых равенство верно:

1. Пусть $a = 1, b = 9$. Тогда $ \sqrt{1 \cdot 9} = \sqrt{9} = 3 $ и $ 1 \cdot \sqrt{9} = 1 \cdot 3 = 3 $. Равенство $3=3$ верно.

2. Пусть $a = 4, b = 0$. Тогда $ \sqrt{4 \cdot 0} = \sqrt{0} = 0 $ и $ 4 \cdot \sqrt{0} = 4 \cdot 0 = 0 $. Равенство $0=0$ верно.

Пары значений, при которых равенство неверно:

Для этого нужно взять $b>0$ и $a>0$, причем $a \ne 1$.

1. Пусть $a = 4, b = 9$. Тогда $ \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 $ и $ 4\sqrt{9} = 4 \cdot 3 = 12 $. Равенство $6=12$ неверно.

2. Пусть $a = 2, b = 1$. Тогда $ \sqrt{2 \cdot 1} = \sqrt{2} $ и $ 2\sqrt{1} = 2 \cdot 1 = 2 $. Равенство $\sqrt{2}=2$ неверно.

Ответ: Верно, например, при $a=1, b=9$ и $a=4, b=0$. Неверно, например, при $a=4, b=9$ и $a=2, b=1$.

в) $ \sqrt{a-b} = \sqrt{a} - \sqrt{b} $

Область определения: $a \ge 0, b \ge 0, a-b \ge 0$, то есть $a \ge b \ge 0$. Возведем обе части в квадрат:

$ (\sqrt{a-b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 $

$ a-b = a - 2\sqrt{ab} + b $

$ -b = -2\sqrt{ab} + b $

$ 2\sqrt{ab} = 2b $

$ \sqrt{ab} = b $

Возведем снова в квадрат (это возможно, т.к. $b \ge 0$): $ ab = b^2 $.

$ ab - b^2 = 0 \implies b(a-b)=0 $.

Это уравнение верно, если $b=0$ или $a=b$.

Пары значений, при которых равенство верно:

1. Пусть $a = 16, b = 0$. Тогда $ \sqrt{16-0} = \sqrt{16} = 4 $ и $ \sqrt{16} - \sqrt{0} = 4-0 = 4 $. Равенство $4=4$ верно.

2. Пусть $a = 25, b = 25$. Тогда $ \sqrt{25-25} = \sqrt{0} = 0 $ и $ \sqrt{25} - \sqrt{25} = 5-5 = 0 $. Равенство $0=0$ верно.

Пары значений, при которых равенство неверно:

Для этого нужно взять любые числа, где $a > b > 0$.

1. Пусть $a = 25, b = 9$. Тогда $ \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4 $ и $ \sqrt{25} - \sqrt{9} = 5-3 = 2 $. Равенство $4=2$ неверно.

2. Пусть $a = 9, b = 4$. Тогда $ \sqrt{9-4} = \sqrt{5} $ и $ \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3-2 = 1 $. Равенство $\sqrt{5}=1$ неверно.

Ответ: Верно, например, при $a=16, b=0$ и $a=25, b=25$. Неверно, например, при $a=25, b=9$ и $a=9, b=4$.

г) $ \sqrt{ab} = ab $

Область определения требует, чтобы $ab \ge 0$. Пусть $x = ab$. Тогда уравнение примет вид $ \sqrt{x} = x $. Возведем в квадрат обе части (это возможно, т.к. обе части неотрицательны):

$ (\sqrt{x})^2 = x^2 $

$ x = x^2 $

$ x^2 - x = 0 $

$ x(x-1) = 0 $

Решениями являются $x=0$ и $x=1$. Таким образом, исходное равенство верно, когда $ab=0$ или $ab=1$.

Пары значений, при которых равенство верно:

1. Для $ab=0$. Пусть $a=0, b=10$. Тогда $ \sqrt{0 \cdot 10} = \sqrt{0} = 0 $ и $ 0 \cdot 10 = 0 $. Равенство $0=0$ верно.

2. Для $ab=1$. Пусть $a=2, b=1/2$. Тогда $ \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1 $ и $ 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $. Равенство $1=1$ верно.

Пары значений, при которых равенство неверно:

Для этого нужно выбрать $a$ и $b$ так, чтобы их произведение было положительным, но не равнялось 1.

1. Пусть $a=4, b=1$. Тогда $ab=4$. $ \sqrt{4} = 2 $. Равенство $2=4$ неверно.

2. Пусть $a=3, b=3$. Тогда $ab=9$. $ \sqrt{9} = 3 $. Равенство $3=9$ неверно.

Ответ: Верно, например, при $a=0, b=10$ и $a=2, b=1/2$. Неверно, например, при $a=4, b=1$ и $a=3, b=3$.

15.36 Известно, что $f(x) = -\sqrt{x}$. Докажите, что:

a) $f(4x) = 2f(x);$

б) $f(x^4) = -(f(x))^4;$

в) $f(0,01x) = 0,1f(x);$

г) $f(x^5) = x^2f(x).$

Дана функция $f(x) = -\sqrt{x}$. Докажем предложенные тождества. Область определения функции — $x \ge 0$. Все преобразования выполняются с учётом этого условия.

а) Докажем тождество $f(4x) = 2f(x)$.

Сначала преобразуем левую часть равенства. Для этого подставим $4x$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:

$f(4x) = -\sqrt{4x}$

Используя свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, получаем:

$-\sqrt{4x} = -\sqrt{4} \cdot \sqrt{x} = -2\sqrt{x}$.

Теперь преобразуем правую часть равенства, подставив в неё определение функции $f(x)$:

$2f(x) = 2 \cdot (-\sqrt{x}) = -2\sqrt{x}$.

Левая и правая части равенства равны: $-2\sqrt{x} = -2\sqrt{x}$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.

б) Докажем тождество $f(x^4) = -(f(x))^4$.

Преобразуем левую часть, подставив $x^4$ в функцию $f(x)$:

$f(x^4) = -\sqrt{x^4}$

Так как $x^4 = (x^2)^2$ и $x^2 \ge 0$, то $\sqrt{x^4} = x^2$.

$f(x^4) = -x^2$.

Теперь преобразуем правую часть:

$-(f(x))^4 = -(-\sqrt{x})^4$.

При возведении в чётную степень знак минус исчезает: $(-\sqrt{x})^4 = (\sqrt{x})^4 = ((\sqrt{x})^2)^2 = x^2$.

$-(f(x))^4 = -x^2$.

Левая и правая части равны: $-x^2 = -x^2$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.

в) Докажем тождество $f(0,01x) = 0,1f(x)$.

Преобразуем левую часть равенства, подставив $0,01x$ в функцию $f(x)$:

$f(0,01x) = -\sqrt{0,01x} = -\sqrt{0,01}\sqrt{x} = -0,1\sqrt{x}$.

Преобразуем правую часть равенства:

$0,1f(x) = 0,1 \cdot (-\sqrt{x}) = -0,1\sqrt{x}$.

Левая и правая части равны: $-0,1\sqrt{x} = -0,1\sqrt{x}$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.

г) Докажем тождество $f(x^5) = x^2f(x)$.

Преобразуем левую часть, подставив $x^5$ в функцию $f(x)$. Отметим, что для существования $f(x^5)$, необходимо $x^5 \ge 0$, что равносильно $x \ge 0$.

$f(x^5) = -\sqrt{x^5}$

Представим подкоренное выражение как $x^5 = x^4 \cdot x$:

$-\sqrt{x^5} = -\sqrt{x^4 \cdot x} = -\sqrt{x^4}\sqrt{x} = -x^2\sqrt{x}$.

Теперь преобразуем правую часть равенства:

$x^2f(x) = x^2 \cdot (-\sqrt{x}) = -x^2\sqrt{x}$.

Левая и правая части равны: $-x^2\sqrt{x} = -x^2\sqrt{x}$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.

Вынесите множитель из-под знака корня:

16.1

а) $\sqrt{9 \cdot 3}$;

б) $\sqrt{2 \cdot 144}$;

в) $\sqrt{36 \cdot 5}$;

г) $\sqrt{196 \cdot 7}.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{9 \cdot 3}$, нужно найти под корнем множитель, который является полным квадратом. В данном случае это число 9. Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
$\sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3}$
Поскольку $\sqrt{9} = 3$, мы можем извлечь корень из этого множителя и записать его перед оставшимся корнем:
$\sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Ответ: $3\sqrt{3}$

б) В выражении $\sqrt{2 \cdot 144}$ множитель 144 является полным квадратом. Применим то же свойство корня из произведения.
$\sqrt{2 \cdot 144} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{2}$
Мы знаем, что $\sqrt{144} = 12$, так как $12^2 = 144$. Подставим это значение:
$12 \cdot \sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.
Ответ: $12\sqrt{2}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{36 \cdot 5}$. Здесь множитель 36 является полным квадратом, так как $6^2 = 36$.
Разложим корень на произведение корней:
$\sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5}$
Извлечем корень из 36, что равно 6, и получим окончательный результат:
$6 \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$.
Ответ: $6\sqrt{5}$

г) В выражении $\sqrt{196 \cdot 7}$ нужно вынести множитель из-под знака корня. Множитель 196 является полным квадратом.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{196 \cdot 7} = \sqrt{196} \cdot \sqrt{7}$
Найдем корень из 196. Так как $14 \cdot 14 = 196$, то $\sqrt{196} = 14$.
Подставляем полученное значение обратно в выражение:
$14 \cdot \sqrt{7} = 14\sqrt{7}$.
Ответ: $14\sqrt{7}$