Номер 15.25, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 15. Свойства квадратных корней. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 15.25, страница 79.

Условие.

15.25 Вычислите:

а) $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{2}{\sqrt{3}})^{-4} \cdot (3)^{-2}$;

б) $(\frac{\sqrt{2}}{3})^{-2} - (\frac{3}{\sqrt{2}})^{-4} : (3)^{-3}$;

в) $(\sqrt{6})^{-4} + (\frac{6}{\sqrt{2}})^{-2} \cdot (\frac{1}{2})^{-3}$;

г) $(\frac{3}{4})^{-1} \cdot (\sqrt{6})^2 - (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{2}{\sqrt{3}})^{-4} \cdot (3)^{-2}$

Для решения этого выражения будем придерживаться порядка действий: сначала возведение в степень, затем умножение, и в конце сложение. Будем использовать свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

1. Вычислим первый член: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$.

2. Теперь рассмотрим вторую часть выражения: $(\frac{2}{\sqrt{3}})^{-4} \cdot (3)^{-2}$.

Вычислим первый множитель: $(\frac{2}{\sqrt{3}})^{-4} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^4 = \frac{(\sqrt{3})^4}{2^4} = \frac{((\sqrt{3})^2)^2}{16} = \frac{3^2}{16} = \frac{9}{16}$.

Вычислим второй множитель: $(3)^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

3. Выполним умножение: $\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{9} = \frac{9 \cdot 1}{16 \cdot 9} = \frac{1}{16}$.

4. Выполним сложение: $\frac{1}{4} + \frac{1}{16}$. Приведем дроби к общему знаменателю 16: $\frac{1}{4} = \frac{4}{16}$.

$\frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4+1}{16} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$.

б) $(\frac{\sqrt{2}}{3})^{-2} - (\frac{3}{\sqrt{2}})^{-4} : (3)^{-3}$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем деление, и в конце вычитание.

1. Вычислим уменьшаемое: $(\frac{\sqrt{2}}{3})^{-2} = (\frac{3}{\sqrt{2}})^2 = \frac{3^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{9}{2}$.

2. Теперь рассмотрим вычитаемую часть: $(\frac{3}{\sqrt{2}})^{-4} : (3)^{-3}$.

Вычислим делимое: $(\frac{3}{\sqrt{2}})^{-4} = (\frac{\sqrt{2}}{3})^4 = \frac{(\sqrt{2})^4}{3^4} = \frac{4}{81}$.

Вычислим делитель: $(3)^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

3. Выполним деление: $\frac{4}{81} : \frac{1}{27} = \frac{4}{81} \cdot \frac{27}{1} = \frac{4 \cdot 27}{81}$. Сократим дробь на 27: $\frac{4}{3}$.

4. Выполним вычитание: $\frac{9}{2} - \frac{4}{3}$. Общий знаменатель 6.

$\frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{27}{6} - \frac{8}{6} = \frac{27-8}{6} = \frac{19}{6}$.

Ответ: $\frac{19}{6}$.

в) $(\sqrt{6})^{-4} + (\frac{6}{\sqrt{2}})^{-2} \cdot (\frac{1}{2})^{-3}$

Порядок действий: возведение в степень, умножение, сложение.

1. Вычислим первое слагаемое: $(\sqrt{6})^{-4} = \frac{1}{(\sqrt{6})^4} = \frac{1}{((\sqrt{6})^2)^2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$.

2. Рассмотрим вторую часть выражения: $(\frac{6}{\sqrt{2}})^{-2} \cdot (\frac{1}{2})^{-3}$.

Вычислим первый множитель: $(\frac{6}{\sqrt{2}})^{-2} = (\frac{\sqrt{2}}{6})^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{6^2} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

Вычислим второй множитель: $(\frac{1}{2})^{-3} = (2)^3 = 8$.

3. Выполним умножение: $\frac{1}{18} \cdot 8 = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.

4. Выполним сложение: $\frac{1}{36} + \frac{4}{9}$. Общий знаменатель 36.

$\frac{1}{36} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{1}{36} + \frac{16}{36} = \frac{1+16}{36} = \frac{17}{36}$.

Ответ: $\frac{17}{36}$.

г) $(\frac{3}{4})^{-1} \cdot (\sqrt{6})^2 - (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-2}$

Порядок действий: возведение в степень, умножение, вычитание.

1. Рассмотрим первую часть выражения: $(\frac{3}{4})^{-1} \cdot (\sqrt{6})^2$.

Вычислим первый множитель: $(\frac{3}{4})^{-1} = \frac{4}{3}$.

Вычислим второй множитель: $(\sqrt{6})^2 = 6$.

Выполним умножение: $\frac{4}{3} \cdot 6 = \frac{4 \cdot 6}{3} = 4 \cdot 2 = 8$.

2. Вычислим вычитаемое: $(\frac{1}{\sqrt{5}})^{-2} = (\frac{\sqrt{5}}{1})^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

3. Выполним вычитание: $8 - 5 = 3$.

Ответ: $3$.