Номер 15.18, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 15. Свойства квадратных корней. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 15.18, страница 78.

Условие.

15.18 a) $\sqrt{25a^4b^6}$;

б) $\sqrt{\frac{81}{49}p^{12}q^{26}}$,

в) $\sqrt{36m^2n^8}$;

г) $\sqrt{\frac{1}{4}r^{18}s^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{25a^4b^6}$, воспользуемся свойством арифметического квадратного корня из произведения: $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$). Также будем использовать формулу $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$, так как квадратный корень является неотрицательным числом.
Выражение под корнем $25a^4b^6 = 25(a^2)^2(b^3)^2$ всегда неотрицательно, поэтому корень определен для любых значений $a$ и $b$.
Разложим корень на множители:
$\sqrt{25a^4b^6} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^6}$
Теперь извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{25} = 5$
$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2|$. Поскольку $a^2$ всегда неотрицательно, $|a^2| = a^2$.
$\sqrt{b^6} = \sqrt{(b^3)^2} = |b^3|$. Так как $b^3$ может быть отрицательным (например, если $b < 0$), необходимо оставить знак модуля.
Соединив все части, получаем:
$5 \cdot a^2 \cdot |b^3| = 5a^2|b^3|$
Ответ: $5a^2|b^3|$

б) Упростим выражение $\sqrt{\frac{81}{49}p^{12}q^{26}}$. Используем свойство корня из произведения и частного, а также формулу $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$.
Подкоренное выражение $\frac{81}{49}p^{12}q^{26}$ неотрицательно при любых значениях переменных.
$\sqrt{\frac{81}{49}p^{12}q^{26}} = \sqrt{\frac{81}{49}} \cdot \sqrt{p^{12}} \cdot \sqrt{q^{26}}$
Упростим каждый множитель:
$\sqrt{\frac{81}{49}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}} = \frac{9}{7}$
$\sqrt{p^{12}} = \sqrt{(p^6)^2} = |p^6|$. Так как показатель степени 6 четный, $p^6$ всегда неотрицательно, поэтому $|p^6| = p^6$.
$\sqrt{q^{26}} = \sqrt{(q^{13})^2} = |q^{13}|$. Показатель степени 13 нечетный, поэтому $q^{13}$ может быть отрицательным. Знак модуля необходим.
Собираем результат:
$\frac{9}{7} \cdot p^6 \cdot |q^{13}| = \frac{9}{7}p^6|q^{13}|$
Ответ: $\frac{9}{7}p^6|q^{13}|$

в) Упростим выражение $\sqrt{36m^2n^8}$.
Используем те же свойства, что и ранее. Подкоренное выражение $36m^2n^8$ всегда неотрицательно.
$\sqrt{36m^2n^8} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{m^2} \cdot \sqrt{n^8}$
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{36} = 6$
$\sqrt{m^2} = |m|$. Модуль здесь обязателен, так как $m$ может быть отрицательным.
$\sqrt{n^8} = \sqrt{(n^4)^2} = |n^4|$. Так как показатель степени 4 четный, $n^4$ всегда неотрицательно, и $|n^4| = n^4$.
Объединяем полученные результаты:
$6 \cdot |m| \cdot n^4 = 6|m|n^4$
Ответ: $6|m|n^4$

г) Упростим выражение $\sqrt{\frac{1}{4}r^{18}s^2}$.
Подкоренное выражение $\frac{1}{4}r^{18}s^2$ является неотрицательным для любых значений переменных.
$\sqrt{\frac{1}{4}r^{18}s^2} = \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{r^{18}} \cdot \sqrt{s^2}$
Упростим каждый множитель:
$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$
$\sqrt{r^{18}} = \sqrt{(r^9)^2} = |r^9|$. Показатель степени 9 нечетный, поэтому значение $r^9$ может быть отрицательным, и модуль необходим.
$\sqrt{s^2} = |s|$. Модуль также необходим.
Объединяем результаты. Используя свойство модуля $|a| \cdot |b| = |ab|$, получаем:
$\frac{1}{2} \cdot |r^9| \cdot |s| = \frac{1}{2}|r^9s|$
Ответ: $\frac{1}{2}|r^9s|$