Номер 15.15, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 15. Свойства квадратных корней. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 15.15, страница 78.

Условие.

Упростите выражение*:

15.15 a) $\sqrt{9a^{16}}$;б) $\sqrt{36b^8}$;в) $\sqrt{49c^4}$;г) $\sqrt{81d^6}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для упрощения выражения $\sqrt{9a^{16}}$ воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$) и свойством корня из степени $\sqrt{x^2} = |x|$. Поскольку $9 > 0$ и $a^{16}=(a^8)^2 \ge 0$ для любого действительного числа $a$, можем записать:
$\sqrt{9a^{16}} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^{16}} = 3 \cdot \sqrt{(a^8)^2} = 3|a^8|$.
Так как показатель степени 8 является четным числом, выражение $a^8$ всегда неотрицательно ($a^8 \ge 0$), поэтому $|a^8|=a^8$.
Окончательный вид выражения: $3a^8$.

Ответ: $3a^8$

б) Упростим выражение $\sqrt{36b^8}$, используя те же свойства. Выражение под корнем неотрицательно, так как $36 > 0$ и $b^8=(b^4)^2 \ge 0$.
$\sqrt{36b^8} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{b^8} = 6 \cdot \sqrt{(b^4)^2} = 6|b^4|$.
Показатель степени 4 — четный, поэтому $b^4 \ge 0$ для любого $b$. Следовательно, $|b^4| = b^4$.
В результате получаем: $6b^4$.

Ответ: $6b^4$

в) Упростим выражение $\sqrt{49c^4}$.
$\sqrt{49c^4} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{c^4} = 7 \cdot \sqrt{(c^2)^2} = 7|c^2|$.
Выражение $c^2$ всегда неотрицательно ($c^2 \ge 0$), поэтому модуль можно опустить: $|c^2| = c^2$.
Итоговое выражение: $7c^2$.

Ответ: $7c^2$

г) Упростим выражение $\sqrt{81d^6}$.
$\sqrt{81d^6} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{d^6} = 9 \cdot \sqrt{(d^3)^2} = 9|d^3|$.
В данном случае показатель степени у подмодульного выражения ($d^3$) — нечетный. Это означает, что $d^3$ может быть как положительным (если $d>0$), так и отрицательным (если $d<0$). Поэтому знак модуля необходимо сохранить, так как по определению арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Дальнейшее упрощение без информации о знаке $d$ невозможно.

Ответ: $9|d^3|$