Номер 15.9, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Параграф 15. Свойства квадратных корней - номер 15.9, страница 77.

Условие.

15.9 a) $\sqrt{5^4}$;

б) $\sqrt{(-2)^8}$;

в) $\sqrt{2^{12}};

г) $\sqrt{(-5)^2}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt{5^4}$, воспользуемся свойством степени. Арифметический квадратный корень можно представить как возведение в степень $\frac{1}{2}$.

Таким образом, $\sqrt{5^4} = (5^4)^{\frac{1}{2}}$.

Применяя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$5^{4 \cdot \frac{1}{2}} = 5^2 = 25$.

Другой способ — представить подкоренное выражение как квадрат другого выражения: $5^4 = (5^2)^2$.

Тогда $\sqrt{5^4} = \sqrt{(5^2)^2}$. Используя свойство $\sqrt{a^2} = a$ для $a \ge 0$, получаем:

$\sqrt{(5^2)^2} = 5^2 = 25$.

Ответ: 25.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{(-2)^8}$.

Сначала вычислим значение подкоренного выражения. Так как показатель степени 8 — четное число, результат возведения в степень будет положительным:

$(-2)^8 = 2^8$.

Теперь задача сводится к вычислению $\sqrt{2^8}$.

Используя представление корня в виде степени, получаем:

$\sqrt{2^8} = (2^8)^{\frac{1}{2}} = 2^{8 \cdot \frac{1}{2}} = 2^4 = 16$.

Альтернативно, можно использовать свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$. В данном случае $a = -2$ и $2k = 8$, значит $k=4$.

$\sqrt{(-2)^8} = \sqrt{((-2)^4)^2} = |(-2)^4| = |16| = 16$.

Ответ: 16.

в) Вычислим значение выражения $\sqrt{2^{12}}$.

Представим квадратный корень как степень $\frac{1}{2}$:

$\sqrt{2^{12}} = (2^{12})^{\frac{1}{2}}$.

По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$2^{12 \cdot \frac{1}{2}} = 2^6 = 64$.

Также можно представить $2^{12}$ как $(2^6)^2$.

Тогда $\sqrt{2^{12}} = \sqrt{(2^6)^2} = 2^6 = 64$, так как $2^6 > 0$.

Ответ: 64.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{(-5)^2}$.

Воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа a).

Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$.

Также можно сначала возвести число в квадрат под корнем:

$(-5)^2 = 25$.

Тогда выражение примет вид $\sqrt{25}$, что равно 5.

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5.