Номер 15.19, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 15. Свойства квадратных корней. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 15.19, страница 78.

Условие.

15.19 a) $\sqrt{\frac{4a^2}{b^6}}$;

б) $\sqrt{\frac{169a^{18}}{25b^{30}}}$;

в) $\sqrt{\frac{49a^{18}}{81b^6}}$;

г) $\sqrt{\frac{576a^{12}}{25b^{26}}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для упрощения выражения $ \sqrt{\frac{4a^2}{b^6}} $ воспользуемся свойствами квадратного корня.

1. Применим свойство корня из дроби $ \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} $ (для $ x \ge 0, y > 0 $):
$ \sqrt{\frac{4a^2}{b^6}} = \frac{\sqrt{4a^2}}{\sqrt{b^6}} $

2. Применим свойство корня из произведения $ \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} $ (для $ x \ge 0, y \ge 0 $):
$ \frac{\sqrt{4}\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^6}} $

3. Извлечём корни, используя правило $ \sqrt{x^{2k}} = |x^k| $.
В числителе: $ \sqrt{4} = 2 $ и $ \sqrt{a^2} = |a| $.
В знаменателе: $ \sqrt{b^6} = \sqrt{(b^3)^2} = |b^3| $.
Для существования выражения необходимо, чтобы $ b \neq 0 $.

4. Соберём полученное выражение:
$ \frac{2|a|}{|b^3|} $

Ответ: $ \frac{2|a|}{|b^3|} $

б) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{169a^{18}}{25b^{30}}} $.

1. Разделим корень на корень числителя и корень знаменателя:
$ \sqrt{\frac{169a^{18}}{25b^{30}}} = \frac{\sqrt{169a^{18}}}{\sqrt{25b^{30}}} $

2. Разложим подкоренные выражения на множители:
$ \frac{\sqrt{169}\sqrt{a^{18}}}{\sqrt{25}\sqrt{b^{30}}} $

3. Извлечём корни:
$ \sqrt{169} = 13 $, $ \sqrt{a^{18}} = \sqrt{(a^9)^2} = |a^9| $.
$ \sqrt{25} = 5 $, $ \sqrt{b^{30}} = \sqrt{(b^{15})^2} = |b^{15}| $.
Для существования выражения необходимо, чтобы $ b \neq 0 $.

4. Запишем итоговый результат:
$ \frac{13|a^9|}{5|b^{15}|} $

Ответ: $ \frac{13|a^9|}{5|b^{15}|} $

в) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{49a^{18}}{81b^6}} $.

1. Используем свойство корня из частного:
$ \sqrt{\frac{49a^{18}}{81b^6}} = \frac{\sqrt{49a^{18}}}{\sqrt{81b^6}} $

2. Используем свойство корня из произведения:
$ \frac{\sqrt{49}\sqrt{a^{18}}}{\sqrt{81}\sqrt{b^6}} $

3. Извлечём корни:
$ \sqrt{49} = 7 $, $ \sqrt{a^{18}} = \sqrt{(a^9)^2} = |a^9| $.
$ \sqrt{81} = 9 $, $ \sqrt{b^6} = \sqrt{(b^3)^2} = |b^3| $.
Для существования выражения необходимо, чтобы $ b \neq 0 $.

4. Запишем итоговый результат:
$ \frac{7|a^9|}{9|b^3|} $

Ответ: $ \frac{7|a^9|}{9|b^3|} $

г) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{576a^{12}}{25b^{26}}} $.

1. Применим свойство корня из дроби:
$ \sqrt{\frac{576a^{12}}{25b^{26}}} = \frac{\sqrt{576a^{12}}}{\sqrt{25b^{26}}} $

2. Применим свойство корня из произведения:
$ \frac{\sqrt{576}\sqrt{a^{12}}}{\sqrt{25}\sqrt{b^{26}}} $

3. Извлечём корни:
$ \sqrt{576} = 24 $, $ \sqrt{a^{12}} = \sqrt{(a^6)^2} = |a^6| $. Так как степень $ 6 $ чётная, $ a^6 $ всегда неотрицательно, поэтому $ |a^6| = a^6 $.
$ \sqrt{25} = 5 $, $ \sqrt{b^{26}} = \sqrt{(b^{13})^2} = |b^{13}| $.
Для существования выражения необходимо, чтобы $ b \neq 0 $.

4. Запишем итоговый результат:
$ \frac{24a^6}{5|b^{13}|} $

Ответ: $ \frac{24a^6}{5|b^{13}|} $