Номер 15.17, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 15. Свойства квадратных корней. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 15.17, страница 78.

Условие.

15.17 а) $\sqrt{x^2 y^4}$

б) $\sqrt{z^6 t^8}$

в) $\sqrt{m^{12} n^{16}}$

г) $\sqrt{p^8 q^{10}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{x^2y^4}$, воспользуемся свойствами арифметического квадратного корня. Основное свойство, которое мы будем использовать, это $\sqrt{a^2} = |a|$. Также, корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$).
Представим подкоренное выражение как произведение полных квадратов:
$x^2y^4 = x^2 \cdot (y^2)^2$
Теперь извлечем корень:
$\sqrt{x^2y^4} = \sqrt{x^2 \cdot (y^2)^2} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{(y^2)^2}$
Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$|x| \cdot |y^2|$
Поскольку $y^2$ всегда является неотрицательным числом (любое число в квадрате больше или равно нулю), модуль от $y^2$ равен самому выражению $y^2$. То есть, $|y^2| = y^2$.
Таким образом, итоговый результат:
$|x|y^2$
Ответ: $|x|y^2$.

б)

Упростим выражение $\sqrt{z^6t^8}$.
Сначала представим каждый множитель под корнем в виде квадрата некоторого выражения:
$z^6 = (z^3)^2$
$t^8 = (t^4)^2$
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{z^6t^8} = \sqrt{(z^3)^2 \cdot (t^4)^2} = \sqrt{(z^3)^2} \cdot \sqrt{(t^4)^2}$
Используя правило $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$|z^3| \cdot |t^4|$
Выражение $t^4$ всегда неотрицательно, так как показатель степени 4 — четное число. Поэтому $|t^4| = t^4$.
Выражение $z^3$ может принимать как положительные, так и отрицательные значения (в зависимости от знака $z$), поэтому знак модуля для $z^3$ необходимо сохранить.
Окончательный вид выражения:
$|z^3|t^4$
Ответ: $|z^3|t^4$.

в)

Упростим выражение $\sqrt{m^{12}n^{16}}$.
Представим подкоренное выражение в виде произведения квадратов:
$m^{12} = (m^6)^2$
$n^{16} = (n^8)^2$
Подставляем в исходное выражение:
$\sqrt{m^{12}n^{16}} = \sqrt{(m^6)^2 \cdot (n^8)^2} = \sqrt{(m^6)^2} \cdot \sqrt{(n^8)^2}$
Применяем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:
$|m^6| \cdot |n^8|$
Поскольку оба показателя степени (6 и 8) — четные числа, выражения $m^6$ и $n^8$ всегда неотрицательны. Следовательно, знаки модуля можно опустить:
$|m^6| = m^6$
$|n^8| = n^8$
Итоговый результат:
$m^6n^8$
Ответ: $m^6n^8$.

г)

Упростим выражение $\sqrt{p^8q^{10}}$.
Представим множители под корнем в виде квадратов:
$p^8 = (p^4)^2$
$q^{10} = (q^5)^2$
Подставляем в исходное выражение и извлекаем корень:
$\sqrt{p^8q^{10}} = \sqrt{(p^4)^2 \cdot (q^5)^2} = \sqrt{(p^4)^2} \cdot \sqrt{(q^5)^2}$
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, имеем:
$|p^4| \cdot |q^5|$
Выражение $p^4$ всегда неотрицательно, так как показатель степени 4 — четное число. Поэтому $|p^4| = p^4$.
Выражение $q^5$ может быть как положительным, так и отрицательным (в зависимости от знака $q$), так как показатель степени 5 — нечетное число. Поэтому модуль для $q^5$ необходимо оставить.
Окончательный результат:
$p^4|q^5|$
Ответ: $p^4|q^5|$.