Номер 15.30, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 15. Свойства квадратных корней. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 15.30, страница 79.

Условие.

15.30 а) $\sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}}$;

б) $\sqrt{\frac{149^2 - 76^2}{457^2 - 384^2}}$;

в) $\sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}}$;

г) $\sqrt{\frac{145,5^2 - 96,5^2}{193,5^2 - 31,5^2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) Чтобы решить данное выражение $ \sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}} $, воспользуемся формулой разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ для числителя.
$ 165^2 - 124^2 = (165 - 124)(165 + 124) = 41 \cdot 289 $.
Подставим это значение в исходное выражение: $ \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{164}} $.
Заметим, что знаменатель $ 164 $ делится на $ 41 $: $ 164 = 4 \cdot 41 $.
Сократим дробь: $ \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{4 \cdot 41}} = \sqrt{\frac{289}{4}} $.
Теперь извлечем квадратный корень: $ \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}} = \frac{17}{2} = 8,5 $.
Ответ: $ 8,5 $.

б) В выражении $ \sqrt{\frac{149^2 - 76^2}{457^2 - 384^2}} $ применим формулу разности квадратов как для числителя, так и для знаменателя.
Числитель: $ 149^2 - 76^2 = (149 - 76)(149 + 76) = 73 \cdot 225 $.
Знаменатель: $ 457^2 - 384^2 = (457 - 384)(457 + 384) = 73 \cdot 841 $.
Подставим полученные значения в дробь под корнем: $ \sqrt{\frac{73 \cdot 225}{73 \cdot 841}} $.
Сократим общий множитель $ 73 $: $ \sqrt{\frac{225}{841}} $.
Извлечем квадратный корень из числителя и знаменателя: $ \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{841}} = \frac{15}{29} $ (поскольку $ 29^2 = 841 $).
Ответ: $ \frac{15}{29} $.

в) Рассмотрим выражение $ \sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}} $. Применим формулу разности квадратов для знаменателя.
$ 176^2 - 112^2 = (176 - 112)(176 + 112) = 64 \cdot 288 $.
Подставим это в исходное выражение: $ \sqrt{\frac{98}{64 \cdot 288}} $.
Упростим дробь под корнем. Разложим $ 98 $ на множители $ 2 \cdot 49 $, а $ 288 $ на $ 2 \cdot 144 $: $ \sqrt{\frac{2 \cdot 49}{64 \cdot (2 \cdot 144)}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 49}{64 \cdot 2 \cdot 144}} $.
Сократим общий множитель $ 2 $: $ \sqrt{\frac{49}{64 \cdot 144}} $.
Извлечем квадратный корень: $ \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64} \cdot \sqrt{144}} = \frac{7}{8 \cdot 12} = \frac{7}{96} $.
Ответ: $ \frac{7}{96} $.

г) В выражении $ \sqrt{\frac{145,5^2 - 96,5^2}{193,5^2 - 31,5^2}} $ снова воспользуемся формулой разности квадратов для числителя и знаменателя.
Числитель: $ 145,5^2 - 96,5^2 = (145,5 - 96,5)(145,5 + 96,5) = 49 \cdot 242 $.
Знаменатель: $ 193,5^2 - 31,5^2 = (193,5 - 31,5)(193,5 + 31,5) = 162 \cdot 225 $.
Подставим в выражение: $ \sqrt{\frac{49 \cdot 242}{162 \cdot 225}} $.
Упростим дробь. Разложим $ 242 = 2 \cdot 121 $ и $ 162 = 2 \cdot 81 $: $ \sqrt{\frac{49 \cdot (2 \cdot 121)}{(2 \cdot 81) \cdot 225}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 2 \cdot 121}{2 \cdot 81 \cdot 225}} $.
Сократим $ 2 $: $ \sqrt{\frac{49 \cdot 121}{81 \cdot 225}} $.
Извлечем корень: $ \frac{\sqrt{49} \cdot \sqrt{121}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{225}} = \frac{7 \cdot 11}{9 \cdot 15} = \frac{77}{135} $.
Ответ: $ \frac{77}{135} $.