Номер 16.3, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.3, страница 81.

Условие.

16.3 a) $\sqrt{\frac{25}{16 \cdot 2}}$;

б) $\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{169 \cdot 5}}$;

в) $\sqrt{\frac{6 \cdot 49}{121}}$;

г) $\sqrt{\frac{144 \cdot 3}{7 \cdot 25}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для упрощения выражения $\sqrt{\frac{25}{16 \cdot 2}}$ воспользуемся свойствами арифметического квадратного корня.
Применим свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{\frac{25}{16 \cdot 2}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16 \cdot 2}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}}$.
Вычислим значения корней из чисел, являющихся полными квадратами: $\sqrt{25} = 5$ и $\sqrt{16} = 4$.
Подставим полученные значения в выражение: $\frac{5}{4 \cdot \sqrt{2}} = \frac{5}{4\sqrt{2}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:
$\frac{5 \cdot \sqrt{2}}{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{4 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{5\sqrt{2}}{4 \cdot 2} = \frac{5\sqrt{2}}{8}$.
Ответ: $\frac{5\sqrt{2}}{8}$.

б) Для упрощения выражения $\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{169 \cdot 5}}$ применим те же свойства, что и в предыдущем примере.
$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{169 \cdot 5}} = \frac{\sqrt{36 \cdot 2}}{\sqrt{169 \cdot 5}} = \frac{\sqrt{36} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{169} \cdot \sqrt{5}}$.
Извлечем корни из полных квадратов: $\sqrt{36} = 6$ и $\sqrt{169} = 13$.
Подставим значения: $\frac{6 \cdot \sqrt{2}}{13 \cdot \sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{2}}{13\sqrt{5}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:
$\frac{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{13\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{2 \cdot 5}}{13 \cdot 5} = \frac{6\sqrt{10}}{65}$.
Ответ: $\frac{6\sqrt{10}}{65}$.

в) Для упрощения выражения $\sqrt{\frac{6 \cdot 49}{121}}$ используем свойства корня.
$\sqrt{\frac{6 \cdot 49}{121}} = \frac{\sqrt{6 \cdot 49}}{\sqrt{121}} = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{49}}{\sqrt{121}}$.
Извлечем корни из полных квадратов: $\sqrt{49} = 7$ и $\sqrt{121} = 11$.
Подставим значения: $\frac{\sqrt{6} \cdot 7}{11} = \frac{7\sqrt{6}}{11}$.
В знаменателе дроби нет иррационального числа, поэтому дальнейшие преобразования не требуются.
Ответ: $\frac{7\sqrt{6}}{11}$.

г) Для упрощения выражения $\sqrt{\frac{144 \cdot 3}{7 \cdot 25}}$ снова используем свойства корня.
$\sqrt{\frac{144 \cdot 3}{7 \cdot 25}} = \frac{\sqrt{144 \cdot 3}}{\sqrt{7 \cdot 25}} = \frac{\sqrt{144} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{25}}$.
Извлечем корни из полных квадратов: $\sqrt{144} = 12$ и $\sqrt{25} = 5$.
Подставим значения: $\frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{7} \cdot 5} = \frac{12\sqrt{3}}{5\sqrt{7}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:
$\frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{5\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{12\sqrt{3 \cdot 7}}{5 \cdot 7} = \frac{12\sqrt{21}}{35}$.
Ответ: $\frac{12\sqrt{21}}{35}$.