Номер 16.12, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.12, страница 81.

Условие.

16.12 a) $\sqrt{x^{15}y^2}$;

б) $\sqrt{x^8t^9}$;

в) $\sqrt{m^{21}n^{16}}$;

г) $\sqrt{p^{10}q^{13}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{x^{15}y^2}$ воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ (при $a \ge 0$ и $b \ge 0$). Подкоренное выражение $x^{15}y^2$ должно быть неотрицательным. Так как $y^2 \ge 0$ для любого действительного числа $y$, то необходимо, чтобы $x^{15} \ge 0$, что равносильно условию $x \ge 0$. Разложим корень на множители: $\sqrt{x^{15}y^2} = \sqrt{x^{15}} \cdot \sqrt{y^2}$ Упростим каждый множитель. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{y^2} = |y|$. Для $\sqrt{x^{15}}$, представим степень с нечетным показателем $15$ в виде произведения множителей, один из которых имеет наибольшую возможную четную степень: $x^{15} = x^{14} \cdot x$. $\sqrt{x^{15}} = \sqrt{x^{14} \cdot x} = \sqrt{x^{14}} \cdot \sqrt{x}$ Теперь упростим $\sqrt{x^{14}}$, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $x^{14} = (x^7)^2$. $\sqrt{x^{14}} = \sqrt{(x^7)^2} = |x^7|$. Так как мы определили, что $x \ge 0$, то $x^7 \ge 0$, и следовательно $|x^7| = x^7$. Таким образом, $\sqrt{x^{15}} = x^7\sqrt{x}$. Объединим полученные результаты: $\sqrt{x^{15}y^2} = (x^7\sqrt{x}) \cdot |y| = x^7|y|\sqrt{x}$.

Ответ: $x^7|y|\sqrt{x}$

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt{x^8 t^9}$. Подкоренное выражение $x^8 t^9$ должно быть неотрицательным. Так как $x^8 = (x^4)^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то должно выполняться условие $t^9 \ge 0$, что равносильно $t \ge 0$. Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{x^8 t^9} = \sqrt{x^8} \cdot \sqrt{t^9}$ Упростим каждый множитель. $\sqrt{x^8} = \sqrt{(x^4)^2} = |x^4|$. Поскольку $x^4$ всегда неотрицательно ($x^4 \ge 0$), то $|x^4| = x^4$. Для $\sqrt{t^9}$, представим $t^9$ как $t^8 \cdot t$. $\sqrt{t^9} = \sqrt{t^8 \cdot t} = \sqrt{t^8} \cdot \sqrt{t}$ Упростим $\sqrt{t^8} = \sqrt{(t^4)^2} = |t^4|$. Так как мы установили, что $t \ge 0$, то $t^4 \ge 0$, и $|t^4| = t^4$. Таким образом, $\sqrt{t^9} = t^4\sqrt{t}$. Объединим результаты: $\sqrt{x^8 t^9} = x^4 \cdot t^4\sqrt{t} = x^4t^4\sqrt{t}$.

Ответ: $x^4t^4\sqrt{t}$

в)

Рассмотрим выражение $\sqrt{m^{21} n^{16}}$. Подкоренное выражение $m^{21} n^{16}$ должно быть неотрицательным. Так как $n^{16} = (n^8)^2 \ge 0$ для любого действительного числа $n$, то должно выполняться условие $m^{21} \ge 0$, что равносильно $m \ge 0$. Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{m^{21} n^{16}} = \sqrt{m^{21}} \cdot \sqrt{n^{16}}$ Упростим каждый множитель. Для $\sqrt{m^{21}}$, представим $m^{21}$ как $m^{20} \cdot m$. $\sqrt{m^{21}} = \sqrt{m^{20} \cdot m} = \sqrt{m^{20}} \cdot \sqrt{m}$ Упростим $\sqrt{m^{20}} = \sqrt{(m^{10})^2} = |m^{10}|$. Так как $m \ge 0$, то $m^{10} \ge 0$, и $|m^{10}| = m^{10}$. Значит, $\sqrt{m^{21}} = m^{10}\sqrt{m}$. Для $\sqrt{n^{16}}$, имеем $\sqrt{n^{16}} = \sqrt{(n^8)^2} = |n^8|$. Поскольку $n^8$ всегда неотрицательно, $|n^8| = n^8$. Объединим результаты: $\sqrt{m^{21} n^{16}} = (m^{10}\sqrt{m}) \cdot n^8 = m^{10}n^8\sqrt{m}$.

Ответ: $m^{10}n^8\sqrt{m}$

г)

Рассмотрим выражение $\sqrt{p^{10} q^{13}}$. Подкоренное выражение $p^{10} q^{13}$ должно быть неотрицательным. Так как $p^{10} = (p^5)^2 \ge 0$ для любого действительного числа $p$, то должно выполняться условие $q^{13} \ge 0$, что равносильно $q \ge 0$. Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{p^{10} q^{13}} = \sqrt{p^{10}} \cdot \sqrt{q^{13}}$ Упростим каждый множитель. $\sqrt{p^{10}} = \sqrt{(p^5)^2} = |p^5|$. Знак $p$ неизвестен, поэтому модуль необходимо оставить. Для $\sqrt{q^{13}}$, представим $q^{13}$ как $q^{12} \cdot q$. $\sqrt{q^{13}} = \sqrt{q^{12} \cdot q} = \sqrt{q^{12}} \cdot \sqrt{q}$ Упростим $\sqrt{q^{12}} = \sqrt{(q^6)^2} = |q^6|$. Так как $q \ge 0$, то $q^6 \ge 0$, и $|q^6| = q^6$. Таким образом, $\sqrt{q^{13}} = q^6\sqrt{q}$. Объединим результаты: $\sqrt{p^{10} q^{13}} = |p^5| \cdot q^6\sqrt{q} = |p^5|q^6\sqrt{q}$.

Ответ: $|p^5|q^6\sqrt{q}$