Номер 16.14, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.14, страница 81.

Условие.

16.14 а) $\sqrt{\frac{m^3}{n^3}}$;

б) $\sqrt{\frac{x^3}{8y^3}}$;

в) $\sqrt{\frac{81c^6}{a^3}}$;

г) $\sqrt{\frac{32c^7}{9b^6}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для упрощения данного выражения $\sqrt{\frac{m^3}{n^3}}$ вынесем множители из-под знака корня. Будем считать, что переменные $m$ и $n$ принимают значения, при которых выражение под корнем неотрицательно, и знаменатель не равен нулю, то есть $m \ge 0$ и $n > 0$.

Воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{m^3}{n^3}} = \frac{\sqrt{m^3}}{\sqrt{n^3}}$

Представим подкоренные выражения в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень: $m^3 = m^2 \cdot m$ и $n^3 = n^2 \cdot n$.

$\frac{\sqrt{m^2 \cdot m}}{\sqrt{n^2 \cdot n}} = \frac{\sqrt{m^2}\sqrt{m}}{\sqrt{n^2}\sqrt{n}}$

Так как мы предположили, что $m \ge 0$ и $n > 0$, то $\sqrt{m^2} = m$ и $\sqrt{n^2} = n$.

$\frac{m\sqrt{m}}{n\sqrt{n}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе (рационализировать знаменатель), умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{n}$:

$\frac{m\sqrt{m} \cdot \sqrt{n}}{n\sqrt{n} \cdot \sqrt{n}} = \frac{m\sqrt{mn}}{n \cdot n} = \frac{m\sqrt{mn}}{n^2}$

Ответ: $\frac{m\sqrt{mn}}{n^2}$

б)

Для упрощения выражения $\sqrt{\frac{x^3}{8y^3}}$ будем считать, что переменные $x$ и $y$ принимают значения, при которых выражение имеет смысл, то есть $x \ge 0$ и $y > 0$.

Сначала преобразуем подкоренное выражение так, чтобы из знаменателя можно было извлечь корень. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби под корнем на $2y$, чтобы получить в знаменателе полный квадрат:

$\sqrt{\frac{x^3}{8y^3}} = \sqrt{\frac{x^3 \cdot 2y}{8y^3 \cdot 2y}} = \sqrt{\frac{2x^3y}{16y^4}}$

Теперь воспользуемся свойством корня из дроби:

$\frac{\sqrt{2x^3y}}{\sqrt{16y^4}}$

Упростим числитель и знаменатель. В числителе представим $x^3$ как $x^2 \cdot x$. В знаменателе $\sqrt{16y^4} = \sqrt{16 \cdot (y^2)^2} = 4y^2$.

$\frac{\sqrt{2 \cdot x^2 \cdot x \cdot y}}{4y^2} = \frac{\sqrt{x^2}\sqrt{2xy}}{4y^2}$

Вынесем множитель из-под корня в числителе. Так как мы предположили $x \ge 0$, то $\sqrt{x^2} = x$:

$\frac{x\sqrt{2xy}}{4y^2}$

Ответ: $\frac{x\sqrt{2xy}}{4y^2}$

в)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{81c^6}{a^3}}$. Для того чтобы оно имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Так как $81c^6 = 81(c^3)^2 \ge 0$ для любого действительного $c$, необходимо, чтобы знаменатель был положителен: $a^3 > 0$, что означает $a > 0$.

Упростим выражение, используя свойство корня из дроби:

$\sqrt{\frac{81c^6}{a^3}} = \frac{\sqrt{81c^6}}{\sqrt{a^3}}$

Упростим числитель и знаменатель по отдельности:

$\sqrt{81c^6} = \sqrt{9^2 \cdot (c^3)^2} = 9|c^3|$

$\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = a\sqrt{a}$ (так как $a>0$)

Подставим упрощенные части обратно в дробь:

$\frac{9|c^3|}{a\sqrt{a}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{a}$:

$\frac{9|c^3| \cdot \sqrt{a}}{a\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{9|c^3|\sqrt{a}}{a \cdot a} = \frac{9|c^3|\sqrt{a}}{a^2}$

Ответ: $\frac{9|c^3|\sqrt{a}}{a^2}$

г)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{32c^7}{9b^6}}$. Определим область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{32c^7}{9b^6} \ge 0$.

Знаменатель $9b^6 = 9(b^3)^2$ всегда неотрицателен. Чтобы он не был равен нулю, нужно $b \neq 0$. Числитель $32c^7$ должен быть неотрицательным, что означает $c^7 \ge 0$, и, следовательно, $c \ge 0$.

Теперь упростим выражение, разделив корень дроби на дробь корней:

$\sqrt{\frac{32c^7}{9b^6}} = \frac{\sqrt{32c^7}}{\sqrt{9b^6}}$

Упростим числитель, выделив полные квадраты:

$\sqrt{32c^7} = \sqrt{16 \cdot 2 \cdot c^6 \cdot c} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{c^6} \cdot \sqrt{2c}$

Так как $c \ge 0$, то $\sqrt{c^6} = \sqrt{(c^3)^2} = c^3$. Значит, числитель равен $4c^3\sqrt{2c}$.

Упростим знаменатель:

$\sqrt{9b^6} = \sqrt{9 \cdot (b^3)^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{(b^3)^2} = 3|b^3|$

Объединяем упрощенные числитель и знаменатель:

$\frac{4c^3\sqrt{2c}}{3|b^3|}$

Ответ: $\frac{4c^3\sqrt{2c}}{3|b^3|}$