Номер 16.22, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.22, страница 82.

Условие.

16.22 Расположите в порядке возрастания числа:

а) $6, 2\sqrt{8}, 5, \sqrt{26}$;

б) $2, \sqrt{7}, 2\sqrt{3}, 3$;

в) $4, 3\sqrt{2}, 4\frac{1}{2}, \sqrt{19}$;

г) $1, \frac{\sqrt{7}}{3}, \frac{1}{2}\sqrt{3}, 0,7$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, мы можем сравнить их значения. Удобнее всего это сделать, если привести все числа к одному виду. Так как в каждом наборе есть иррациональные числа (квадратные корни), самым простым способом сравнения будет возведение каждого числа в квадрат. Для положительных чисел верно, что если $a > b$, то $a^2 > b^2$.

а) Даны числа: $6, 2\sqrt{8}, 5, \sqrt{26}$.

Возведем каждое число в квадрат:

• $6^2 = 36$
• $(2\sqrt{8})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{8})^2 = 4 \cdot 8 = 32$
• $5^2 = 25$
• $(\sqrt{26})^2 = 26$

Теперь расположим полученные квадраты в порядке возрастания: $25 < 26 < 32 < 36$.

Этому порядку соответствует следующая последовательность исходных чисел: $5 < \sqrt{26} < 2\sqrt{8} < 6$.

Ответ: $5, \sqrt{26}, 2\sqrt{8}, 6$.

б) Даны числа: $2, \sqrt{7}, 2\sqrt{3}, 3$.

Возведем их в квадрат:

• $2^2 = 4$
• $(\sqrt{7})^2 = 7$
• $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$
• $3^2 = 9$

Расположим квадраты в порядке возрастания: $4 < 7 < 9 < 12$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются так: $2 < \sqrt{7} < 3 < 2\sqrt{3}$.

Ответ: $2, \sqrt{7}, 3, 2\sqrt{3}$.

в) Даны числа: $4, 3\sqrt{2}, 4\frac{1}{2}, \sqrt{19}$.

Возведем все числа в квадрат:

• $4^2 = 16$
• $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$
• $(4\frac{1}{2})^2 = (4.5)^2 = 20.25$
• $(\sqrt{19})^2 = 19$

Расположим квадраты в порядке возрастания: $16 < 18 < 19 < 20.25$.

Соответствующий порядок для исходных чисел: $4 < 3\sqrt{2} < \sqrt{19} < 4\frac{1}{2}$.

Ответ: $4, 3\sqrt{2}, \sqrt{19}, 4\frac{1}{2}$.

г) Даны числа: $1, \frac{\sqrt{7}}{3}, \frac{1}{2}\sqrt{3}, 0.7$.

Возведем их в квадрат:

• $1^2 = 1$
• $(\frac{\sqrt{7}}{3})^2 = \frac{7}{9}$
• $(\frac{1}{2}\sqrt{3})^2 = \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{3}{4}$
• $0.7^2 = 0.49 = \frac{49}{100}$

Теперь сравним полученные квадраты: $1, \frac{7}{9}, \frac{3}{4}, \frac{49}{100}$. Для удобства сравнения преобразуем дроби в десятичные:

• $\frac{49}{100} = 0.49$
• $\frac{3}{4} = 0.75$
• $\frac{7}{9} \approx 0.777...$
• $1$

Располагая квадраты в порядке возрастания, получаем: $0.49 < 0.75 < \frac{7}{9} < 1$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания: $0.7 < \frac{1}{2}\sqrt{3} < \frac{\sqrt{7}}{3} < 1$.

Ответ: $0.7, \frac{1}{2}\sqrt{3}, \frac{\sqrt{7}}{3}, 1$.