Номер 16.27, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.27, страница 83.

Условие.

16.27 a) $\sqrt{a^3b} + \frac{2}{3a}\sqrt{a^5b}$;

б) $\sqrt{m^5} + 4m\sqrt{m^3} - m^2\sqrt{m}$;

в) $2a\sqrt{a^7b} - \sqrt{a^9b}$;

г) $\sqrt{81d^3} - 5d\sqrt{d} + \frac{3}{d}\sqrt{4d^5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\sqrt{a^3b} + \frac{2}{3a}\sqrt{a^5b}$

Для упрощения данного выражения необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Будем считать, что переменные удовлетворяют области допустимых значений ($a > 0, b \ge 0$).

1. Упростим первое слагаемое $\sqrt{a^3b}$. Представим $a^3$ как $a^2 \cdot a$:

$\sqrt{a^3b} = \sqrt{a^2 \cdot ab} = a\sqrt{ab}$.

2. Упростим второе слагаемое $\frac{2}{3a}\sqrt{a^5b}$. Представим $a^5$ как $a^4 \cdot a$:

$\frac{2}{3a}\sqrt{a^5b} = \frac{2}{3a}\sqrt{a^4 \cdot ab} = \frac{2}{3a} \cdot a^2\sqrt{ab}$.

Сократим дробь $\frac{2a^2}{3a}$ на $a$:

$\frac{2a}{3}\sqrt{ab}$.

3. Теперь сложим полученные выражения. Они являются подобными слагаемыми, так как имеют одинаковую часть $\sqrt{ab}$.

$a\sqrt{ab} + \frac{2a}{3}\sqrt{ab} = (a + \frac{2a}{3})\sqrt{ab}$.

4. Сложим коэффициенты в скобках, приведя их к общему знаменателю:

$(\frac{3a}{3} + \frac{2a}{3})\sqrt{ab} = \frac{5a}{3}\sqrt{ab}$.

Ответ: $\frac{5a}{3}\sqrt{ab}$.

б) $\sqrt{m^5} + 4m\sqrt{m^3} - m^2\sqrt{m}$

Для упрощения выражения вынесем множители из-под знака корня в первом и втором слагаемых. Предполагаем, что $m \ge 0$.

1. Упростим первое слагаемое $\sqrt{m^5}$:

$\sqrt{m^5} = \sqrt{m^4 \cdot m} = m^2\sqrt{m}$.

2. Упростим второе слагаемое $4m\sqrt{m^3}$:

$4m\sqrt{m^3} = 4m\sqrt{m^2 \cdot m} = 4m \cdot m\sqrt{m} = 4m^2\sqrt{m}$.

3. Третье слагаемое $m^2\sqrt{m}$ уже в упрощенном виде.

4. Подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:

$m^2\sqrt{m} + 4m^2\sqrt{m} - m^2\sqrt{m}$.

5. Все слагаемые являются подобными. Сложим и вычтем их коэффициенты:

$(1 + 4 - 1)m^2\sqrt{m} = 4m^2\sqrt{m}$.

Ответ: $4m^2\sqrt{m}$.

в) $2a\sqrt{a^7b} - \sqrt{a^9b}$

Упростим выражение, вынося множители из-под знака корня. Предполагаем, что $a \ge 0, b \ge 0$.

1. Упростим первый член $2a\sqrt{a^7b}$:

$2a\sqrt{a^7b} = 2a\sqrt{a^6 \cdot ab} = 2a \cdot a^3\sqrt{ab} = 2a^4\sqrt{ab}$.

2. Упростим второй член $\sqrt{a^9b}$:

$\sqrt{a^9b} = \sqrt{a^8 \cdot ab} = a^4\sqrt{ab}$.

3. Подставим упрощенные члены в исходное выражение и выполним вычитание:

$2a^4\sqrt{ab} - a^4\sqrt{ab}$.

4. Сгруппируем подобные слагаемые:

$(2 - 1)a^4\sqrt{ab} = 1 \cdot a^4\sqrt{ab} = a^4\sqrt{ab}$.

Ответ: $a^4\sqrt{ab}$.

г) $\sqrt{81d^3} - 5d\sqrt{d} + \frac{3}{d}\sqrt{4d^5}$

Для упрощения выражения необходимо вынести множители из-под знака корня в первом и третьем слагаемых. Область допустимых значений: $d > 0$.

1. Упростим первый член $\sqrt{81d^3}$:

$\sqrt{81d^3} = \sqrt{81 \cdot d^2 \cdot d} = 9d\sqrt{d}$.

2. Второй член $5d\sqrt{d}$ уже в упрощенном виде.

3. Упростим третий член $\frac{3}{d}\sqrt{4d^5}$:

$\frac{3}{d}\sqrt{4d^5} = \frac{3}{d}\sqrt{4 \cdot d^4 \cdot d} = \frac{3}{d} \cdot 2d^2\sqrt{d}$.

Сократим дробь:

$\frac{3 \cdot 2d^2}{d}\sqrt{d} = 6d\sqrt{d}$.

4. Подставим все упрощенные члены в исходное выражение:

$9d\sqrt{d} - 5d\sqrt{d} + 6d\sqrt{d}$.

5. Все члены являются подобными. Выполним действия с их коэффициентами:

$(9 - 5 + 6)d\sqrt{d} = (4 + 6)d\sqrt{d} = 10d\sqrt{d}$.

Ответ: $10d\sqrt{d}$.