Номер 16.24, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.24, страница 82.

Условие.

16.24 a) $\sqrt{216} - 2\sqrt{6}$;

б) $\sqrt{20} + \sqrt{125}$;

в) $\sqrt{125} + 7\sqrt{5}$;

г) $\sqrt{32} - \sqrt{128}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{216} - 2\sqrt{6}$, необходимо привести корни к одному виду. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в члене $\sqrt{216}$.
Разложим подкоренное выражение 216 на множители так, чтобы один из них был наибольшим возможным квадратом целого числа. Заметим, что $216 = 36 \cdot 6$.
Тогда $\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$.
Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$6\sqrt{6} - 2\sqrt{6}$.
Так как оба члена содержат одинаковый радикал $\sqrt{6}$, мы можем выполнить вычитание их коэффициентов:
$(6 - 2)\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$.
Ответ: $4\sqrt{6}$.

б) В выражении $\sqrt{20} + \sqrt{125}$ необходимо упростить каждый из корней, вынеся множители из-под знака корня.
Упростим $\sqrt{20}$. Разложим 20 на множители: $20 = 4 \cdot 5$.
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
Упростим $\sqrt{125}$. Разложим 125 на множители: $125 = 25 \cdot 5$.
$\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
Теперь сложим полученные выражения:
$2\sqrt{5} + 5\sqrt{5}$.
Складываем коэффициенты при одинаковом радикале $\sqrt{5}$:
$(2 + 5)\sqrt{5} = 7\sqrt{5}$.
Ответ: $7\sqrt{5}$.

в) В выражении $\sqrt{125} + 7\sqrt{5}$ нужно упростить первый член.
Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{125}$. Мы знаем, что $125 = 25 \cdot 5$.
Следовательно, $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
Подставим упрощенный корень в исходное выражение:
$5\sqrt{5} + 7\sqrt{5}$.
Теперь сложим коэффициенты при одинаковом радикале $\sqrt{5}$:
$(5 + 7)\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$.
Ответ: $12\sqrt{5}$.

г) Для решения выражения $\sqrt{32} - \sqrt{128}$ упростим каждый из корней.
Упростим $\sqrt{32}$. Разложим 32 на множители, выделив наибольший квадрат: $32 = 16 \cdot 2$.
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Упростим $\sqrt{128}$. Разложим 128 на множители: $128 = 64 \cdot 2$.
$\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$4\sqrt{2} - 8\sqrt{2}$.
Выполним вычитание коэффициентов при одинаковом радикале $\sqrt{2}$:
$(4 - 8)\sqrt{2} = -4\sqrt{2}$.
Ответ: $-4\sqrt{2}$.