Номер 16.29, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.29, страница 83.

Условие.

16.29 a) $\sqrt{x}(\sqrt{a}-\sqrt{x});$

б) $\sqrt{mn}(\sqrt{m}+\sqrt{n});$

в) $(\sqrt{c}+\sqrt{d})\cdot \sqrt{c};$

г) $(\sqrt{p}-\sqrt{q})\cdot \sqrt{pq}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для того чтобы упростить выражение $\sqrt{x}(\sqrt{a} - \sqrt{x})$, нужно раскрыть скобки, умножив $\sqrt{x}$ на каждый член в скобках. Это делается на основе распределительного свойства умножения.
$\sqrt{x}(\sqrt{a} - \sqrt{x}) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{a} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$
Теперь используем свойство произведения квадратных корней $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn}$ и определение квадратного корня $\sqrt{m} \cdot \sqrt{m} = m$.
$\sqrt{x \cdot a} - x = \sqrt{ax} - x$
Предполагается, что переменные принимают допустимые значения ($x \ge 0, a \ge 0$).
Ответ: $\sqrt{ax} - x$.

б) Упростим выражение $\sqrt{mn}(\sqrt{m} + \sqrt{n})$, используя распределительное свойство умножения.
$\sqrt{mn}(\sqrt{m} + \sqrt{n}) = \sqrt{mn} \cdot \sqrt{m} + \sqrt{mn} \cdot \sqrt{n}$
Применим свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:
$\sqrt{mn \cdot m} + \sqrt{mn \cdot n} = \sqrt{m^2n} + \sqrt{mn^2}$
Теперь вынесем множители из-под знака корня. Так как по определению корня $m, n \ge 0$, то $\sqrt{m^2} = m$ и $\sqrt{n^2} = n$.
$\sqrt{m^2} \cdot \sqrt{n} + \sqrt{m} \cdot \sqrt{n^2} = m\sqrt{n} + n\sqrt{m}$
Ответ: $m\sqrt{n} + n\sqrt{m}$.

в) Чтобы упростить выражение $(\sqrt{c} + \sqrt{d}) \cdot \sqrt{c}$, раскроем скобки.
$(\sqrt{c} + \sqrt{d}) \cdot \sqrt{c} = \sqrt{c} \cdot \sqrt{c} + \sqrt{d} \cdot \sqrt{c}$
Используем свойства $\sqrt{m} \cdot \sqrt{m} = m$ и $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn}$.
$c + \sqrt{dc} = c + \sqrt{cd}$
Предполагается, что $c \ge 0, d \ge 0$.
Ответ: $c + \sqrt{cd}$.

г) Для упрощения выражения $(\sqrt{p} - \sqrt{q}) \cdot \sqrt{pq}$ раскроем скобки.
$(\sqrt{p} - \sqrt{q}) \cdot \sqrt{pq} = \sqrt{p} \cdot \sqrt{pq} - \sqrt{q} \cdot \sqrt{pq}$
Применим свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:
$\sqrt{p \cdot pq} - \sqrt{q \cdot pq} = \sqrt{p^2q} - \sqrt{pq^2}$
Вынесем множители из-под знака корня, учитывая, что $p, q \ge 0$.
$\sqrt{p^2}\sqrt{q} - \sqrt{p}\sqrt{q^2} = p\sqrt{q} - q\sqrt{p}$
Ответ: $p\sqrt{q} - q\sqrt{p}$.