Номер 16.35, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.35, страница 83.

Условие.

16.35 а) $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2;$

б) $(\sqrt{x} - 3\sqrt{y})^2;$

в) $(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2;$

г) $(\sqrt{t} + 2\sqrt{x})^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы раскрыть скобки в выражении $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$, применим формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$.

В нашем случае $X = \sqrt{a}$ и $Y = \sqrt{b}$.

Подставляем в формулу: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2$.

Далее, упрощаем каждый член выражения. Используя свойство квадратного корня $(\sqrt{k})^2 = k$ (для $k \ge 0$), получаем $(\sqrt{a})^2 = a$ и $(\sqrt{b})^2 = b$. Произведение корней равно $2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = 2\sqrt{ab}$.

Собираем все члены вместе: $a + 2\sqrt{ab} + b$.

Ответ: $a + b + 2\sqrt{ab}$.

б)

Для выражения $(\sqrt{x} - 3\sqrt{y})^2$ используем формулу квадрата разности: $(X-Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2$.

Здесь $X = \sqrt{x}$ и $Y = 3\sqrt{y}$.

Подставляем в формулу: $(\sqrt{x} - 3\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x})^2 - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 3\sqrt{y} + (3\sqrt{y})^2$.

Упростим каждый член: $(\sqrt{x})^2 = x$; $2 \cdot \sqrt{x} \cdot 3\sqrt{y} = 6\sqrt{xy}$; $(3\sqrt{y})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{y})^2 = 9y$.

Результат: $x - 6\sqrt{xy} + 9y$.

Ответ: $x + 9y - 6\sqrt{xy}$.

в)

Выражение $(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2$ раскрывается по формуле квадрата разности $(X-Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2$.

В данном случае $X = \sqrt{m}$ и $Y = \sqrt{n}$.

Подставляем: $(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 = (\sqrt{m})^2 - 2 \cdot \sqrt{m} \cdot \sqrt{n} + (\sqrt{n})^2$.

Упрощаем, используя свойство $(\sqrt{k})^2 = k$: $(\sqrt{m})^2 = m$ и $(\sqrt{n})^2 = n$. Удвоенное произведение равно $2\sqrt{mn}$.

Результат: $m - 2\sqrt{mn} + n$.

Ответ: $m + n - 2\sqrt{mn}$.

г)

Для выражения $(\sqrt{t} + 2\sqrt{x})^2$ применим формулу квадрата суммы: $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$.

Здесь $X = \sqrt{t}$ и $Y = 2\sqrt{x}$.

Подставляем в формулу: $(\sqrt{t} + 2\sqrt{x})^2 = (\sqrt{t})^2 + 2 \cdot \sqrt{t} \cdot 2\sqrt{x} + (2\sqrt{x})^2$.

Упростим каждый член: $(\sqrt{t})^2 = t$; $2 \cdot \sqrt{t} \cdot 2\sqrt{x} = 4\sqrt{tx}$; $(2\sqrt{x})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{x})^2 = 4x$.

Результат: $t + 4\sqrt{tx} + 4x$.

Ответ: $t + 4x + 4\sqrt{tx}$.