Номер 16.41, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.41, страница 84.

Условие.

16.41 а) $\frac{4a}{\sqrt{2a}}$;

б) $\frac{a^2b}{\sqrt{ab^3}}$;

в) $\frac{c^2}{\sqrt{c^5}}$;

г) $\frac{9a^2bc}{\sqrt{27ab^3c}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Упростим выражение $\frac{4a}{\sqrt{2a}}$.
Предполагаем, что подкоренное выражение больше нуля, то есть $a > 0$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе (рационализировать знаменатель), домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2a}$:
$\frac{4a}{\sqrt{2a}} = \frac{4a \cdot \sqrt{2a}}{\sqrt{2a} \cdot \sqrt{2a}} = \frac{4a\sqrt{2a}}{2a}$.
Теперь сократим полученную дробь на общий множитель $2a$ (при $a \neq 0$):
$\frac{4a\sqrt{2a}}{2a} = 2\sqrt{2a}$.
Альтернативный способ: представить числитель $4a$ как $2 \cdot (\sqrt{2a})^2$.
$\frac{4a}{\sqrt{2a}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{2a})^2}{\sqrt{2a}} = 2\sqrt{2a}$.
Ответ: $2\sqrt{2a}$.

б) Упростим выражение $\frac{a^2b}{\sqrt{ab^3}}$.
Предполагаем, что переменные $a$ и $b$ положительны ($a > 0, b > 0$).
Сначала упростим корень в знаменателе, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{ab^3} = \sqrt{a \cdot b^2 \cdot b} = b\sqrt{ab}$.
Подставим упрощенный корень обратно в выражение:
$\frac{a^2b}{b\sqrt{ab}}$.
Сократим дробь на $b$:
$\frac{a^2}{\sqrt{ab}}$.
Теперь рационализируем знаменатель, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{ab}$:
$\frac{a^2 \cdot \sqrt{ab}}{\sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab}} = \frac{a^2\sqrt{ab}}{ab}$.
Сократим полученную дробь на $a$:
$\frac{a\sqrt{ab}}{b}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{ab}}{b}$.

в) Упростим выражение $\frac{c^2}{\sqrt{c^5}}$.
Предполагаем, что $c > 0$.
Упростим корень в знаменателе, вынеся множитель $c^4$ из-под знака корня:
$\sqrt{c^5} = \sqrt{c^4 \cdot c} = c^2\sqrt{c}$.
Подставим упрощенный корень в выражение и сократим дробь на $c^2$:
$\frac{c^2}{c^2\sqrt{c}} = \frac{1}{\sqrt{c}}$.
Домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{c}$, чтобы избавиться от корня в знаменателе:
$\frac{1 \cdot \sqrt{c}}{\sqrt{c} \cdot \sqrt{c}} = \frac{\sqrt{c}}{c}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{c}}{c}$.

г) Упростим выражение $\frac{9a^2bc}{\sqrt{27ab^3c}}$.
Предполагаем, что переменные $a, b, c$ положительны ($a > 0, b > 0, c > 0$).
Сначала упростим корень в знаменателе. Разложим подкоренное выражение на множители:
$27ab^3c = 9 \cdot 3 \cdot a \cdot b^2 \cdot b \cdot c$.
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{27ab^3c} = \sqrt{9 \cdot b^2 \cdot 3abc} = 3b\sqrt{3abc}$.
Подставим упрощенный корень в исходное выражение:
$\frac{9a^2bc}{3b\sqrt{3abc}}$.
Сократим дробь на общий множитель $3b$:
$\frac{3a^2c}{\sqrt{3abc}}$.
Теперь рационализируем знаменатель, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3abc}$:
$\frac{3a^2c \cdot \sqrt{3abc}}{\sqrt{3abc} \cdot \sqrt{3abc}} = \frac{3a^2c\sqrt{3abc}}{3abc}$.
Сократим полученную дробь на общий множитель $3ac$:
$\frac{a\sqrt{3abc}}{b}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{3abc}}{b}$.