Номер 16.37, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.37, страница 84.

Условие.

16.37 a) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2$;

б) $(\sqrt{6} + \sqrt{12})^2$;

в) $(3\sqrt{5} - 5\sqrt{3})^2$;

г) $(\sqrt{14} + \sqrt{8})^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для раскрытия скобок в выражении $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2$ воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2\sqrt{3}$ и $b = 3\sqrt{2}$.

1. Возведем в квадрат первый член: $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

2. Найдем удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{2}) = (2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}) = 12\sqrt{6}$.

3. Возведем в квадрат второй член: $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

4. Подставим полученные значения в формулу: $12 - 12\sqrt{6} + 18$.

5. Сложим числовые слагаемые: $12 + 18 = 30$.

Таким образом, выражение равно $30 - 12\sqrt{6}$.

Ответ: $30 - 12\sqrt{6}$.

б) Для раскрытия скобок в выражении $(\sqrt{6} + \sqrt{12})^2$ применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{6}$ и $b = \sqrt{12}$.

1. Возведем в квадрат первый член: $(\sqrt{6})^2 = 6$.

2. Возведем в квадрат второй член: $(\sqrt{12})^2 = 12$.

3. Найдем удвоенное произведение членов: $2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{12} = 2\sqrt{6 \cdot 12} = 2\sqrt{72}$.

4. Упростим корень: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. Тогда удвоенное произведение равно $2 \cdot 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.

5. Подставим значения в формулу: $6 + 12\sqrt{2} + 12$.

6. Сложим числовые слагаемые: $6 + 12 = 18$.

Итоговое выражение: $18 + 12\sqrt{2}$.

Ответ: $18 + 12\sqrt{2}$.

в) Для вычисления $(3\sqrt{5} - 5\sqrt{3})^2$ снова используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 3\sqrt{5}$ и $b = 5\sqrt{3}$.

1. Первый член в квадрате: $(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.

2. Удвоенное произведение: $2 \cdot (3\sqrt{5}) \cdot (5\sqrt{3}) = (2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}) = 30\sqrt{15}$.

3. Второй член в квадрате: $(5\sqrt{3})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$.

4. Подставляем в формулу: $45 - 30\sqrt{15} + 75$.

5. Складываем числа: $45 + 75 = 120$.

Результат: $120 - 30\sqrt{15}$.

Ответ: $120 - 30\sqrt{15}$.

г) Чтобы раскрыть скобки в выражении $(\sqrt{14} + \sqrt{8})^2$, применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{14}$ и $b = \sqrt{8}$.

1. Первый член в квадрате: $(\sqrt{14})^2 = 14$.

2. Второй член в квадрате: $(\sqrt{8})^2 = 8$.

3. Удвоенное произведение: $2 \cdot \sqrt{14} \cdot \sqrt{8} = 2\sqrt{14 \cdot 8} = 2\sqrt{112}$.

4. Упростим корень: $\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$. Тогда удвоенное произведение равно $2 \cdot 4\sqrt{7} = 8\sqrt{7}$.

5. Подставим все части в формулу: $14 + 8\sqrt{7} + 8$.

6. Сложим числа: $14 + 8 = 22$.

Окончательный результат: $22 + 8\sqrt{7}$.

Ответ: $22 + 8\sqrt{7}$.