Номер 16.38, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.38, страница 84.

Условие.

16.38 a) $(\sqrt{m} - \sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n);$

б) $(c + \sqrt{d})(c^2 - c\sqrt{d} + d);$

в) $(\sqrt{r} - 2\sqrt{n})(r + 2\sqrt{rn} + 4n);$

г) $(2\sqrt{s} + 3t)(4s - 6t\sqrt{s} + 9t^2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $(\sqrt{m} - \sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n)$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В данном выражении пусть $a = \sqrt{m}$ и $b = \sqrt{n}$.

Тогда $a^2 = (\sqrt{m})^2 = m$, $b^2 = (\sqrt{n})^2 = n$, и произведение $ab = \sqrt{m}\sqrt{n} = \sqrt{mn}$.

Вторая скобка в исходном выражении $(m + \sqrt{mn} + n)$ полностью соответствует части формулы $(a^2 + ab + b^2)$.

Следовательно, все выражение можно свернуть по формуле разности кубов:

$(\sqrt{m})^3 - (\sqrt{n})^3 = m\sqrt{m} - n\sqrt{n}$.

Ответ: $m\sqrt{m} - n\sqrt{n}$.

б) $(c + \sqrt{d})(c^2 - c\sqrt{d} + d)$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

В данном выражении пусть $a = c$ и $b = \sqrt{d}$.

Тогда $a^2 = c^2$, $b^2 = (\sqrt{d})^2 = d$, и произведение $ab = c\sqrt{d}$.

Вторая скобка в исходном выражении $(c^2 - c\sqrt{d} + d)$ полностью соответствует части формулы $(a^2 - ab + b^2)$.

Следовательно, все выражение можно свернуть по формуле суммы кубов:

$c^3 + (\sqrt{d})^3 = c^3 + d\sqrt{d}$.

Ответ: $c^3 + d\sqrt{d}$.

в) $(\sqrt{r} - 2\sqrt{n})(r + 2\sqrt{rn} + 4n)$

Для решения этого примера снова воспользуемся формулой разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В данном выражении пусть $a = \sqrt{r}$ и $b = 2\sqrt{n}$.

Тогда $a^2 = (\sqrt{r})^2 = r$, $b^2 = (2\sqrt{n})^2 = 4n$, и произведение $ab = \sqrt{r} \cdot 2\sqrt{n} = 2\sqrt{rn}$.

Вторая скобка в исходном выражении $(r + 2\sqrt{rn} + 4n)$ полностью соответствует части формулы $(a^2 + ab + b^2)$.

Следовательно, все выражение можно свернуть по формуле разности кубов:

$(\sqrt{r})^3 - (2\sqrt{n})^3 = r\sqrt{r} - 2^3(\sqrt{n})^3 = r\sqrt{r} - 8n\sqrt{n}$.

Ответ: $r\sqrt{r} - 8n\sqrt{n}$.

г) $(2\sqrt{s} + 3t)(4s - 6t\sqrt{s} + 9t^2)$

Для решения этого примера снова воспользуемся формулой суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

В данном выражении пусть $a = 2\sqrt{s}$ и $b = 3t$.

Тогда $a^2 = (2\sqrt{s})^2 = 4s$, $b^2 = (3t)^2 = 9t^2$, и произведение $ab = (2\sqrt{s})(3t) = 6t\sqrt{s}$.

Вторая скобка в исходном выражении $(4s - 6t\sqrt{s} + 9t^2)$ полностью соответствует части формулы $(a^2 - ab + b^2)$.

Следовательно, все выражение можно свернуть по формуле суммы кубов:

$(2\sqrt{s})^3 + (3t)^3 = 2^3(\sqrt{s})^3 + 3^3t^3 = 8s\sqrt{s} + 27t^3$.

Ответ: $8s\sqrt{s} + 27t^3$.