Номер 16.45, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.45, страница 84.

Условие.

16.45 a) $ \frac{x}{x + \sqrt{y}} $;

б) $ \frac{a^2 - b}{a - \sqrt{b}} $;

в) $ \frac{s}{2s + \sqrt{3r}} $;

г) $ \frac{25b^2 - 3a}{\sqrt{3a - 5b}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $x - \sqrt{y}$. В знаменателе получится разность квадратов.

$\frac{x}{x + \sqrt{y}} = \frac{x(x - \sqrt{y})}{(x + \sqrt{y})(x - \sqrt{y})} = \frac{x^2 - x\sqrt{y}}{x^2 - (\sqrt{y})^2} = \frac{x^2 - x\sqrt{y}}{x^2 - y}$

Ответ: $\frac{x^2 - x\sqrt{y}}{x^2 - y}$

б) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение $a + \sqrt{b}$, сопряженное знаменателю $a - \sqrt{b}$.

$\frac{a^2 - b}{a - \sqrt{b}} = \frac{(a^2 - b)(a + \sqrt{b})}{(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})} = \frac{(a^2 - b)(a + \sqrt{b})}{a^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{(a^2 - b)(a + \sqrt{b})}{a^2 - b}$

После сокращения дроби на общий множитель $(a^2 - b)$ получаем $a + \sqrt{b}$. Отметим, что к этому же результату можно прийти, если сразу разложить числитель $a^2 - b$ как разность квадратов $(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})$ и сократить дробь.

Ответ: $a + \sqrt{b}$

в) Домножим числитель и знаменатель на выражение $2s - \sqrt{3r}$, которое является сопряженным к знаменателю $2s + \sqrt{3r}$.

$\frac{s}{2s + \sqrt{3r}} = \frac{s(2s - \sqrt{3r})}{(2s + \sqrt{3r})(2s - \sqrt{3r})} = \frac{2s^2 - s\sqrt{3r}}{(2s)^2 - (\sqrt{3r})^2} = \frac{2s^2 - s\sqrt{3r}}{4s^2 - 3r}$

Ответ: $\frac{2s^2 - s\sqrt{3r}}{4s^2 - 3r}$

г) Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{3a} + 5b$.

$\frac{25b^2 - 3a}{\sqrt{3a} - 5b} = \frac{(25b^2 - 3a)(\sqrt{3a} + 5b)}{(\sqrt{3a} - 5b)(\sqrt{3a} + 5b)} = \frac{-(3a - 25b^2)(\sqrt{3a} + 5b)}{(\sqrt{3a})^2 - (5b)^2} = \frac{-(3a - 25b^2)(\sqrt{3a} + 5b)}{3a - 25b^2}$

В числителе мы вынесли знак минус за скобки, чтобы получить выражение, которое можно сократить со знаменателем. После сокращения дроби получаем:

$-(\sqrt{3a} + 5b) = -5b - \sqrt{3a}$

Ответ: $-5b - \sqrt{3a}$