Номер 16.47, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.47, страница 85.

Условие.

16.47 a) $\frac{p - \sqrt{pq + q}}{\sqrt{p} - \sqrt{q}}$,

б) $\frac{4 + 2\sqrt{t} + t}{2 + \sqrt{t}}$,

в) $\frac{x - 3\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} - 3}$,

г) $\frac{a + 2\sqrt{ab} + 4b}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано выражение: $\frac{p - \sqrt{pq} + q}{\sqrt{p} - \sqrt{q}}$

Для упрощения дроби выделим в числителе выражение, которое является произведением знаменателя на некоторый множитель. Это похоже на выделение целой части при делении многочленов.

Преобразуем числитель $p - \sqrt{pq} + q$, чтобы выделить множитель $(\sqrt{p} - \sqrt{q})$:

$p - \sqrt{pq} + q = \sqrt{p} \cdot \sqrt{p} - \sqrt{p}\sqrt{q} + q = \sqrt{p}(\sqrt{p} - \sqrt{q}) + q$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{\sqrt{p}(\sqrt{p} - \sqrt{q}) + q}{\sqrt{p} - \sqrt{q}}$

Разделим эту дробь на сумму двух дробей:

$\frac{\sqrt{p}(\sqrt{p} - \sqrt{q})}{\sqrt{p} - \sqrt{q}} + \frac{q}{\sqrt{p} - \sqrt{q}}$

Сократим первую дробь на общий множитель $(\sqrt{p} - \sqrt{q})$:

$\sqrt{p} + \frac{q}{\sqrt{p} - \sqrt{q}}$

Ответ: $\sqrt{p} + \frac{q}{\sqrt{p} - \sqrt{q}}$

б)

Дано выражение: $\frac{4 + 2\sqrt{t} + t}{2 + \sqrt{t}}$

Перепишем числитель в порядке убывания степеней $t$: $t + 2\sqrt{t} + 4$. Знаменатель: $\sqrt{t} + 2$.

Преобразуем числитель, выделив в нем множитель $(\sqrt{t} + 2)$:

$t + 2\sqrt{t} + 4 = \sqrt{t} \cdot \sqrt{t} + 2\sqrt{t} + 4 = \sqrt{t}(\sqrt{t} + 2) + 4$

Подставим преобразованный числитель в исходную дробь:

$\frac{\sqrt{t}(\sqrt{t} + 2) + 4}{\sqrt{t} + 2}$

Разделим дробь на два слагаемых:

$\frac{\sqrt{t}(\sqrt{t} + 2)}{\sqrt{t} + 2} + \frac{4}{\sqrt{t} + 2}$

Сократив первую дробь, получаем итоговое выражение:

$\sqrt{t} + \frac{4}{2 + \sqrt{t}}$

Ответ: $\sqrt{t} + \frac{4}{2 + \sqrt{t}}$

в)

Дано выражение: $\frac{x - 3\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} - 3}$

Преобразуем числитель $x - 3\sqrt{x} + 9$, чтобы выделить в нем множитель, равный знаменателю $(\sqrt{x} - 3)$:

$x - 3\sqrt{x} + 9 = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 9 = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) + 9$

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) + 9}{\sqrt{x} - 3}$

Представим дробь в виде суммы:

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} - 3} + \frac{9}{\sqrt{x} - 3}$

После сокращения первой дроби получаем результат:

$\sqrt{x} + \frac{9}{\sqrt{x} - 3}$

Ответ: $\sqrt{x} + \frac{9}{\sqrt{x} - 3}$

г)

Дано выражение: $\frac{a + 2\sqrt{ab} + 4b}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}$

Преобразуем числитель $a + 2\sqrt{ab} + 4b$, выделив в нем множитель, равный знаменателю $(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})$:

$a + 2\sqrt{ab} + 4b = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + 4b = \sqrt{a}(\sqrt{a} + 2\sqrt{b}) + 4b$

Подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 2\sqrt{b}) + 4b}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}$

Разделим дробь на сумму двух дробей:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}} + \frac{4b}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}$

Сократим первую дробь на общий множитель $(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})$:

$\sqrt{a} + \frac{4b}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}$

Ответ: $\sqrt{a} + \frac{4b}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}$