Номер 16.42, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.42, страница 84.

Условие.

16.42 а) $\frac{5}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$

б) $\frac{1}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}$

в) $\frac{3}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}$

г) $\frac{6}{(\sqrt{p} + \sqrt{q})^3}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{5}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$, домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для выражения $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ является $\sqrt{x} - \sqrt{y}$. Это позволит нам использовать формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

$\frac{5}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{5(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})} = \frac{5(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2} = \frac{5(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x-y}$.

В результате мы получили дробь, знаменатель которой $x-y$ не содержит корней.

Ответ: $\frac{5(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x-y}$.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{1}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}$. Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$.

В знаменателе получится произведение: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = [(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})]^2$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем: $[(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2]^2 = (a-b)^2$.

Преобразуем всю дробь:

$\frac{1}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{(a-b)^2}$.

Раскроем скобки в числителе по формуле квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$.

Таким образом, окончательное выражение: $\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{(a-b)^2}$.

Ответ: $\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{(a-b)^2}$.

в)

Для дроби $\frac{3}{\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n}}$ необходимо избавиться от кубических корней в знаменателе. Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

В нашем случае $a=\sqrt[3]{m}$ и $b=\sqrt[3]{n}$. Знаменатель представляет собой $(a-b)$. Чтобы получить разность кубов $m-n$, нужно домножить знаменатель на неполный квадрат суммы $a^2+ab+b^2$, который равен $(\sqrt[3]{m})^2 + \sqrt[3]{m}\sqrt[3]{n} + (\sqrt[3]{n})^2 = \sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2}$.

Домножим на это выражение числитель и знаменатель:

$\frac{3}{\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n}} = \frac{3(\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})}{(\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})} = \frac{3(\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})}{(\sqrt[3]{m})^3 - (\sqrt[3]{n})^3} = \frac{3(\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})}{m-n}$.

Знаменатель $m-n$ является рациональным выражением.

Ответ: $\frac{3(\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2})}{m-n}$.

г)

В выражении $\frac{6}{(\sqrt{p} + \sqrt{q})^3}$ знаменатель содержит иррациональность в кубе. По аналогии с пунктом б), можно использовать формулу разности квадратов. Домножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{p} - \sqrt{q})^3$.

Преобразуем знаменатель:

$(\sqrt{p} + \sqrt{q})^3 (\sqrt{p} - \sqrt{q})^3 = [(\sqrt{p} + \sqrt{q})(\sqrt{p} - \sqrt{q})]^3$.

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$[(\sqrt{p})^2 - (\sqrt{q})^2]^3 = (p-q)^3$.

Теперь преобразуем всю дробь:

$\frac{6}{(\sqrt{p} + \sqrt{q})^3} = \frac{6 \cdot (\sqrt{p} - \sqrt{q})^3}{(\sqrt{p} + \sqrt{q})^3 (\sqrt{p} - \sqrt{q})^3} = \frac{6(\sqrt{p} - \sqrt{q})^3}{(p-q)^3}$.

Знаменатель $(p-q)^3$ не содержит корней. Числитель можно оставить в таком виде или раскрыть по формуле куба разности.

Ответ: $\frac{6(\sqrt{p} - \sqrt{q})^3}{(p-q)^3}$.