Номер 16.44, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.44, страница 84.

Условие.

16.44 a) $\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}};

б) $\frac{\sqrt{5}-3}{3+\sqrt{5}};

в) $\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}};

г) $\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}} $, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным выражением к $ 1+\sqrt{3} $ является $ 1-\sqrt{3} $. При умножении знаменателя на сопряженное ему выражение используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $.

$ \frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3}-1)(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 1 \cdot 1 + 1 \cdot \sqrt{3}}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{3} - 3 - 1 + \sqrt{3}}{1 - 3} = \frac{2\sqrt{3}-4}{-2} $

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$ \frac{2\sqrt{3}}{-2} - \frac{4}{-2} = -\sqrt{3} + 2 = 2-\sqrt{3} $

Ответ: $ 2-\sqrt{3} $

б) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{\sqrt{5}-3}{3+\sqrt{5}} $, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным выражением к $ 3+\sqrt{5} $ является $ 3-\sqrt{5} $.

$ \frac{\sqrt{5}-3}{3+\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5}-3)(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{5} \cdot 3 - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 3 \cdot 3 + 3 \cdot \sqrt{5}}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3\sqrt{5} - 5 - 9 + 3\sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{6\sqrt{5}-14}{4} $

Сократим полученную дробь, вынеся общий множитель 2 в числителе:

$ \frac{2(3\sqrt{5}-7)}{4} = \frac{3\sqrt{5}-7}{2} $

Ответ: $ \frac{3\sqrt{5}-7}{2} $

в) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} $, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным выражением к $ 2-\sqrt{2} $ является $ 2+\sqrt{2} $.

$ \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{(2+\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{(2+\sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2} $

В числителе используем формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $, а в знаменателе — формулу разности квадратов.

$ \frac{2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{4 - 2} = \frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{2} = \frac{6+4\sqrt{2}}{2} $

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$ \frac{6}{2} + \frac{4\sqrt{2}}{2} = 3+2\sqrt{2} $

Ответ: $ 3+2\sqrt{2} $

г) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} $, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным выражением к $ 5-\sqrt{7} $ является $ 5+\sqrt{7} $.

$ \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} = \frac{(5+\sqrt{7})(5+\sqrt{7})}{(5-\sqrt{7})(5+\sqrt{7})} = \frac{(5+\sqrt{7})^2}{5^2 - (\sqrt{7})^2} $

В числителе используем формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $, а в знаменателе — формулу разности квадратов.

$ \frac{5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2}{25 - 7} = \frac{25 + 10\sqrt{7} + 7}{18} = \frac{32+10\sqrt{7}}{18} $

Сократим полученную дробь, вынеся общий множитель 2 в числителе:

$ \frac{2(16+5\sqrt{7})}{18} = \frac{16+5\sqrt{7}}{9} $

Ответ: $ \frac{16+5\sqrt{7}}{9} $