Номер 16.48, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.48, страница 85.

Условие.

Разложите выражение на множители методом вынесения общего множителя за скобки:

16.48 a) $5 + \sqrt{5};$

б) $\sqrt{b} - b;$

в) $3 - \sqrt{3};$

г) $\sqrt{a} + a.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы разложить выражение $5 + \sqrt{5}$ на множители, необходимо найти общий множитель. Представим число 5 как произведение двух корней: $5 = (\sqrt{5})^2 = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$. Теперь исходное выражение можно записать в следующем виде: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5}$. Видно, что общим множителем является $\sqrt{5}$. Вынесем его за скобки, помня, что второе слагаемое можно представить как $\sqrt{5} \cdot 1$: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 = \sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)$.
Ответ: $\sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)$.

б) Чтобы разложить выражение $\sqrt{b} - b$ на множители, будем считать, что $b \ge 0$, чтобы корень имел смысл. Представим $b$ в виде $(\sqrt{b})^2 = \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}$. Исходное выражение примет вид: $\sqrt{b} - \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}$. Общий множитель здесь — $\sqrt{b}$. Вынесем его за скобки: $\sqrt{b} \cdot 1 - \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b}(1 - \sqrt{b})$.
Ответ: $\sqrt{b}(1 - \sqrt{b})$.

в) Для разложения выражения $3 - \sqrt{3}$ на множители, представим число 3 как квадратный корень из 3 в квадрате: $3 = (\sqrt{3})^2 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$. Выражение можно переписать так: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3}$. Общий множитель — $\sqrt{3}$. Вынесем его за скобки: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)$.
Ответ: $\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)$.

г) Чтобы разложить на множители выражение $\sqrt{a} + a$, предположим, что $a \ge 0$. Представим $a$ в виде $(\sqrt{a})^2 = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}$. Исходное выражение становится: $\sqrt{a} + \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}$. Общий множитель — $\sqrt{a}$. Вынесем его за скобки: $\sqrt{a} \cdot 1 + \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a}(1 + \sqrt{a})$.
Ответ: $\sqrt{a}(1 + \sqrt{a})$.