Номер 16.53, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.53, страница 85.

Условие.

16.53 Разложите выражение на множители способом группировки, используя определение и свойства квадратного корня:

a) $a\sqrt{a} + b\sqrt{b} + a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$;

б) $2 + b\sqrt{a} - 2\sqrt{ab} - \sqrt{b}$;

в) $a\sqrt{b} - \sqrt{a} + \sqrt{ab} - 1$;

г) $ab + a\sqrt{a} + b\sqrt{b} + \sqrt{ab}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дано выражение $a\sqrt{a} + b\sqrt{b} + a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$.

Сгруппируем слагаемые: первое с четвертым и второе с третьим. Получим: $(a\sqrt{a} + b\sqrt{a}) + (b\sqrt{b} + a\sqrt{b})$.

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $\sqrt{a}$, а из второй — $\sqrt{b}$:

$\sqrt{a}(a + b) + \sqrt{b}(b + a)$

Теперь вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})$

Ответ: $(a + b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})$

б) Дано выражение $2 + b\sqrt{a} - 2\sqrt{ab} - \sqrt{b}$.

Сгруппируем слагаемые: первое с третьим и второе с четвертым. Получим: $(2 - 2\sqrt{ab}) + (b\sqrt{a} - \sqrt{b})$.

Вынесем общие множители. Из первой группы вынесем $2$. Во второй группе, используя то, что $b = \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}$ и $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, вынесем $\sqrt{b}$:

$2(1 - \sqrt{ab}) + \sqrt{b}(\sqrt{ab} - 1)$

Заметим, что выражения в скобках $1 - \sqrt{ab}$ и $\sqrt{ab} - 1$ отличаются только знаком. Вынесем $-1$ из второй скобки:

$2(1 - \sqrt{ab}) - \sqrt{b}(1 - \sqrt{ab})$

Теперь вынесем общий множитель $(1 - \sqrt{ab})$ за скобки:

$(1 - \sqrt{ab})(2 - \sqrt{b})$

Ответ: $(1 - \sqrt{ab})(2 - \sqrt{b})$

в) Дано выражение $a\sqrt{b} - \sqrt{a} + \sqrt{ab} - 1$.

Сгруппируем слагаемые: первое со вторым и третье с четвертым. Получим: $(a\sqrt{b} - \sqrt{a}) + (\sqrt{ab} - 1)$.

Вынесем общие множители. В первой группе, используя то, что $a = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}$, вынесем $\sqrt{a}$:

$\sqrt{a}(\sqrt{a}\sqrt{b} - 1) + (\sqrt{ab} - 1)$

Так как $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$, выражение принимает вид:

$\sqrt{a}(\sqrt{ab} - 1) + 1 \cdot (\sqrt{ab} - 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(\sqrt{ab} - 1)$ за скобки:

$(\sqrt{ab} - 1)(\sqrt{a} + 1)$

Ответ: $(\sqrt{ab} - 1)(\sqrt{a} + 1)$

г) Дано выражение $ab + a\sqrt{a} + b\sqrt{b} + \sqrt{ab}$.

Сгруппируем слагаемые: первое с третьим и второе с четвертым. Получим: $(ab + b\sqrt{b}) + (a\sqrt{a} + \sqrt{ab})$.

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $b$, а из второй — $\sqrt{a}$:

$b(a + \sqrt{b}) + \sqrt{a}(a + \sqrt{b})$

Теперь вынесем общий множитель $(a + \sqrt{b})$ за скобки:

$(a + \sqrt{b})(b + \sqrt{a})$

Ответ: $(a + \sqrt{b})(b + \sqrt{a})$