Номер 16.52, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.52, страница 85.

Условие.

16.52 a) $a + b + \sqrt{a + b};$

б) $\sqrt{a^2 - b^2} - \sqrt{a + b};$

в) $3a - 3b - 2\sqrt{a - b};$

г) $a\sqrt{a - b} + \sqrt{a^2 - b^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) В выражении $a + b + \sqrt{a + b}$ представим слагаемое $a+b$ как квадрат его корня, то есть $a+b = (\sqrt{a+b})^2$. Такое преобразование возможно при условии $a+b \ge 0$, которое необходимо для существования исходного выражения. После подстановки получаем: $(\sqrt{a+b})^2 + \sqrt{a+b}$. Теперь вынесем общий множитель $\sqrt{a+b}$ за скобки. В результате получаем $\sqrt{a+b}(\sqrt{a+b} + 1)$.
Ответ: $\sqrt{a+b}(\sqrt{a+b} + 1)$

б) Для упрощения выражения $\sqrt{a^2 - b^2} - \sqrt{a+b}$ воспользуемся формулой разности квадратов для подкоренного выражения в первом слагаемом: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Тогда $\sqrt{a^2 - b^2}$ можно переписать как $\sqrt{(a-b)(a+b)}$, что равно $\sqrt{a-b}\sqrt{a+b}$ (при условии $a-b \ge 0$ и $a+b \ge 0$). Выражение преобразуется к виду $\sqrt{a-b}\sqrt{a+b} - \sqrt{a+b}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{a+b}$ за скобки, что дает $\sqrt{a+b}(\sqrt{a-b} - 1)$.
Ответ: $\sqrt{a+b}(\sqrt{a-b} - 1)$

в) В выражении $3a - 3b - 2\sqrt{a-b}$ сначала сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель 3: $3(a-b) - 2\sqrt{a-b}$. Затем представим выражение $a-b$ как квадрат его корня $(\sqrt{a-b})^2$, что допустимо при $a-b \ge 0$. Получим $3(\sqrt{a-b})^2 - 2\sqrt{a-b}$. Теперь вынесем общий множитель $\sqrt{a-b}$ за скобки. В итоге имеем $\sqrt{a-b}(3\sqrt{a-b} - 2)$.
Ответ: $\sqrt{a-b}(3\sqrt{a-b} - 2)$

г) Рассмотрим выражение $a\sqrt{a-b} + \sqrt{a^2 - b^2}$. Преобразуем второе слагаемое, используя формулу разности квадратов под корнем: $\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{(a-b)(a+b)}$. Применяя свойство корня из произведения (при $a-b \ge 0$ и $a+b \ge 0$), получаем $\sqrt{a-b}\sqrt{a+b}$. Исходное выражение принимает вид $a\sqrt{a-b} + \sqrt{a-b}\sqrt{a+b}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{a-b}$ за скобки, в результате чего получим $\sqrt{a-b}(a + \sqrt{a+b})$.
Ответ: $\sqrt{a-b}(a + \sqrt{a+b})$