Номер 16.56, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.56, страница 86.

Условие.

Представьте выражение в виде квадрата двучлена:

16.56 а) $1 - 2\sqrt{p} + p;$

в) $c - 2\sqrt{cd} + d;$

б) $x + 6y\sqrt{x} + 9y^2;$

г) $q + 4p\sqrt{q} + 4p^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для того чтобы представить выражение $1 - 2\sqrt{p} + p$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном выражении мы можем определить компоненты $a$ и $b$. Пусть $a^2 = 1$, тогда $a = 1$. Пусть $b^2 = p$, тогда $b = \sqrt{p}$.

Проверим средний член выражения, который должен быть равен $-2ab$.

$-2ab = -2 \cdot 1 \cdot \sqrt{p} = -2\sqrt{p}$.

Это соответствует среднему члену в исходном выражении. Таким образом, выражение можно записать в виде квадрата разности.

$1 - 2\sqrt{p} + p = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{p} + (\sqrt{p})^2 = (1 - \sqrt{p})^2$.

Ответ: $(1 - \sqrt{p})^2$.

б) Чтобы представить выражение $x + 6y\sqrt{x} + 9y^2$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Определим компоненты $a$ и $b$. Пусть $a^2 = x$, тогда $a = \sqrt{x}$. Пусть $b^2 = 9y^2$, тогда $b = \sqrt{9y^2} = 3y$.

Проверим средний член выражения, который должен быть равен $2ab$.

$2ab = 2 \cdot \sqrt{x} \cdot (3y) = 6y\sqrt{x}$.

Это соответствует среднему члену в исходном выражении. Следовательно, выражение является квадратом суммы.

$x + 6y\sqrt{x} + 9y^2 = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot (3y) + (3y)^2 = (\sqrt{x} + 3y)^2$.

Ответ: $(\sqrt{x} + 3y)^2$.

в) Для представления выражения $c - 2\sqrt{cd} + d$ в виде квадрата двучлена, применим формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном выражении определим $a$ и $b$. Пусть $a^2 = c$, тогда $a = \sqrt{c}$. Пусть $b^2 = d$, тогда $b = \sqrt{d}$.

Проверим средний член $-2ab$.

$-2ab = -2 \cdot \sqrt{c} \cdot \sqrt{d} = -2\sqrt{cd}$.

Это совпадает со средним членом в исходном выражении. Значит, выражение можно представить как квадрат разности.

$c - 2\sqrt{cd} + d = (\sqrt{c})^2 - 2\sqrt{cd} + (\sqrt{d})^2 = (\sqrt{c} - \sqrt{d})^2$.

Ответ: $(\sqrt{c} - \sqrt{d})^2$.

г) Чтобы представить выражение $q + 4p\sqrt{q} + 4p^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$. Пусть $a^2 = q$, тогда $a = \sqrt{q}$. Пусть $b^2 = 4p^2$, тогда $b = \sqrt{4p^2} = 2p$.

Проверим средний член $2ab$.

$2ab = 2 \cdot \sqrt{q} \cdot (2p) = 4p\sqrt{q}$.

Это совпадает со средним членом в исходном выражении. Таким образом, выражение является квадратом суммы.

$q + 4p\sqrt{q} + 4p^2 = (\sqrt{q})^2 + 2 \cdot \sqrt{q} \cdot (2p) + (2p)^2 = (\sqrt{q} + 2p)^2$.

Ответ: $(\sqrt{q} + 2p)^2$.