Номер 16.63, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

16.63 a) $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{\sqrt{15} - 3}$

б) $\frac{\sqrt{15} + \sqrt{10}}{\sqrt{21} + \sqrt{14}}$

в) $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{5 - \sqrt{10}}$

г) $\frac{\sqrt{18} + \sqrt{12}}{\sqrt{15} + \sqrt{10}}$

а) Для упрощения выражения $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{\sqrt{15} - 3}$ необходимо разложить подкоренные выражения на множители и вынести общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

1. Преобразуем числитель: $\sqrt{10} - \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 5} - \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})$.

2. Преобразуем знаменатель, представив 3 как $\sqrt{9}$: $\sqrt{15} - 3 = \sqrt{15} - \sqrt{9} = \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{3})$.

3. Подставим преобразованные выражения в исходную дробь:

$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$

4. Сократим общий множитель $(\sqrt{5} - \sqrt{3})$:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

5. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

б) Для упрощения выражения $\frac{\sqrt{15} + \sqrt{10}}{\sqrt{21} + \sqrt{14}}$ вынесем общие множители в числителе и знаменателе.

1. В числителе вынесем за скобки $\sqrt{5}$: $\sqrt{15} + \sqrt{10} = \sqrt{5 \cdot 3} + \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

2. В знаменателе вынесем за скобки $\sqrt{7}$: $\sqrt{21} + \sqrt{14} = \sqrt{7 \cdot 3} + \sqrt{7 \cdot 2} = \sqrt{7}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{7}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

4. Сократим общий множитель $(\sqrt{3} + \sqrt{2})$:

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

5. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{35}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{35}}{7}$

в) Для упрощения выражения $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{5 - \sqrt{10}}$ вынесем общие множители.

1. В числителе вынесем за скобки $\sqrt{3}$: $\sqrt{15} - \sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.

2. В знаменателе представим 5 как $\sqrt{25}$ и вынесем за скобки $\sqrt{5}$: $5 - \sqrt{10} = \sqrt{25} - \sqrt{10} = \sqrt{5 \cdot 5} - \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{\sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$

4. Сократим общий множитель $(\sqrt{5} - \sqrt{2})$:

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

5. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{5}$

г) Для упрощения выражения $\frac{\sqrt{18} + \sqrt{12}}{\sqrt{15} + \sqrt{10}}$ вынесем общие множители.

1. В числителе вынесем за скобки $\sqrt{6}$: $\sqrt{18} + \sqrt{12} = \sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{6 \cdot 2} = \sqrt{6}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

2. В знаменателе вынесем за скобки $\sqrt{5}$: $\sqrt{15} + \sqrt{10} = \sqrt{5 \cdot 3} + \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

4. Сократим общий множитель $(\sqrt{3} + \sqrt{2})$:

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$

5. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5}$

Ответ: $\frac{\sqrt{30}}{5}$