Номер 16.58, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.58, страница 86.

Условие.

16.58 a) $4 + 4\sqrt{3} + 3$;

б) $3 - 2\sqrt{2}$;

в) $2 + 2\sqrt{2} + 1$;

г) $7 - 4\sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Данное выражение $4 + 4\sqrt{3} + 3$ представляет собой развернутую формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим значения $a$ и $b$.
Пусть $a^2 = 4$, тогда $a=2$.
Пусть $b^2 = 3$, тогда $b=\sqrt{3}$.
Теперь проверим, соответствует ли член $4\sqrt{3}$ удвоенному произведению $2ab$:
$2ab = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
Все члены совпадают, следовательно, выражение можно представить в виде квадрата суммы:
$4 + 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 + \sqrt{3})^2$.
Ответ: $(2 + \sqrt{3})^2$.

б) Чтобы представить выражение $3 - 2\sqrt{2}$ в виде квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, необходимо найти такие $a$ и $b$, для которых выполняются условия:
$a^2 + b^2 = 3$ и $2ab = 2\sqrt{2}$.
Из второго уравнения получаем $ab = \sqrt{2}$.
Подберем значения. Пусть $a=\sqrt{2}$ и $b=1$.
Проверим первое уравнение: $a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$.
Условие выполняется. Значит, выражение можно преобразовать следующим образом:
$3 - 2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} - 1)^2$.
Ответ: $(\sqrt{2} - 1)^2$.

в) Данное выражение $2 + 2\sqrt{2} + 1$ представляет собой развернутую формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим значения $a$ и $b$.
Пусть $a^2 = 2$, тогда $a=\sqrt{2}$.
Пусть $b^2 = 1$, тогда $b=1$.
Теперь проверим, соответствует ли член $2\sqrt{2}$ удвоенному произведению $2ab$:
$2ab = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}$.
Все члены совпадают, следовательно, выражение можно представить в виде квадрата суммы:
$2 + 2\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} + 1)^2$.
Ответ: $(\sqrt{2} + 1)^2$.

г) Чтобы представить выражение $7 - 4\sqrt{3}$ в виде квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, необходимо найти такие $a$ и $b$, для которых выполняются условия:
$a^2 + b^2 = 7$ и $2ab = 4\sqrt{3}$.
Из второго уравнения получаем $ab = 2\sqrt{3}$.
Подберем значения. Пусть $a=2$ и $b=\sqrt{3}$ (так как $2 > \sqrt{3}$, разность будет положительной).
Проверим первое уравнение: $a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$.
Условие выполняется. Значит, выражение можно преобразовать следующим образом:
$7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 - \sqrt{3})^2$.
Ответ: $(2 - \sqrt{3})^2$.