Номер 16.51, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.51, страница 85.

Условие.

16.51 а) $a - 2\sqrt{a};$

б) $\sqrt{3b} - b;$

в) $\sqrt{a} - 2a;$

г) $a + \sqrt{ab}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

В данной задаче требуется вынести общий множитель за скобки в каждом выражении. Основной прием, который для этого используется — представление переменной в виде квадрата ее квадратного корня, например, $x = (\sqrt{x})^2$ (при $x \ge 0$), и использование свойства произведения корней $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$).

а) $a - 2\sqrt{a}$
Рассмотрим выражение $a - 2\sqrt{a}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения определяется условием $a \ge 0$.
Представим слагаемое $a$ в виде квадрата его квадратного корня: $a = (\sqrt{a})^2$.
Тогда исходное выражение можно переписать так: $(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}$.
Общим множителем является $\sqrt{a}$. Вынесем его за скобки:
$\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)$.
Ответ: $\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)$.

б) $\sqrt{3b} - b$
Рассмотрим выражение $\sqrt{3b} - b$.
ОДЗ для этого выражения: $3b \ge 0$, что означает $b \ge 0$.
Используя свойство корня из произведения, представим $\sqrt{3b}$ как $\sqrt{3}\sqrt{b}$.
Также представим $b$ как $(\sqrt{b})^2$.
Выражение примет вид: $\sqrt{3}\sqrt{b} - (\sqrt{b})^2$.
Общим множителем является $\sqrt{b}$. Вынесем его за скобки:
$\sqrt{b}(\sqrt{3} - \sqrt{b})$.
Ответ: $\sqrt{b}(\sqrt{3} - \sqrt{b})$.

в) $\sqrt{a} - 2a$
Рассмотрим выражение $\sqrt{a} - 2a$.
ОДЗ для этого выражения: $a \ge 0$.
Представим слагаемое $a$ как $(\sqrt{a})^2$.
Выражение можно переписать в виде: $\sqrt{a} - 2(\sqrt{a})^2$.
Общим множителем является $\sqrt{a}$. Вынесем его за скобки:
$\sqrt{a}(1 - 2\sqrt{a})$.
Ответ: $\sqrt{a}(1 - 2\sqrt{a})$.

г) $a + \sqrt{ab}$
Рассмотрим выражение $a + \sqrt{ab}$.
ОДЗ: $ab \ge 0$. Это означает, что $a$ и $b$ должны быть одного знака (либо оба неотрицательны, либо оба неположительны). В таких задачах обычно предполагается, что переменные неотрицательны, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
При этих условиях, представим $a$ как $(\sqrt{a})^2$ и $\sqrt{ab}$ как $\sqrt{a}\sqrt{b}$.
Выражение примет вид: $(\sqrt{a})^2 + \sqrt{a}\sqrt{b}$.
Общим множителем является $\sqrt{a}$. Вынесем его за скобки:
$\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.
Ответ: $\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.