Номер 16.46, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.46, страница 85.

Условие.

16.46 а) $\frac{1}{\sqrt{a+3}-2}$;

б) $\frac{y-3}{\sqrt{4-y}+1}$;

в) $\frac{2}{3-\sqrt{2x-1}}$;

г) $\frac{3-b}{2-\sqrt{b+1}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{a+3}-2} $, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $ \sqrt{a+3}-2 $ является $ \sqrt{a+3}+2 $.

$ \frac{1}{\sqrt{a+3}-2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a+3}+2)}{(\sqrt{a+3}-2)(\sqrt{a+3}+2)} $

Применим формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $ к знаменателю:

$ (\sqrt{a+3}-2)(\sqrt{a+3}+2) = (\sqrt{a+3})^2 - 2^2 = (a+3) - 4 = a - 1 $

Таким образом, получаем:

$ \frac{\sqrt{a+3}+2}{a-1} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{a+3}+2}{a-1} $

б)

Упростим выражение $ \frac{y-3}{\sqrt{4-y}+1} $. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ \sqrt{4-y}-1 $.

$ \frac{y-3}{\sqrt{4-y}+1} = \frac{(y-3)(\sqrt{4-y}-1)}{(\sqrt{4-y}+1)(\sqrt{4-y}-1)} $

В знаменателе используем формулу разности квадратов:

$ (\sqrt{4-y}+1)(\sqrt{4-y}-1) = (\sqrt{4-y})^2 - 1^2 = (4-y) - 1 = 3-y $

Подставим результат в дробь:

$ \frac{(y-3)(\sqrt{4-y}-1)}{3-y} $

Заметим, что $ y-3 = -(3-y) $. Поэтому можно сократить дробь (при условии, что $ y \neq 3 $):

$ \frac{-(3-y)(\sqrt{4-y}-1)}{3-y} = -(\sqrt{4-y}-1) = 1-\sqrt{4-y} $

Ответ: $ 1-\sqrt{4-y} $

в)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{2}{3-\sqrt{2x-1}} $, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ 3+\sqrt{2x-1} $.

$ \frac{2}{3-\sqrt{2x-1}} = \frac{2(3+\sqrt{2x-1})}{(3-\sqrt{2x-1})(3+\sqrt{2x-1})} $

Используем формулу разности квадратов в знаменателе:

$ (3-\sqrt{2x-1})(3+\sqrt{2x-1}) = 3^2 - (\sqrt{2x-1})^2 = 9 - (2x-1) = 9 - 2x + 1 = 10 - 2x = 2(5-x) $

Подставим полученное выражение в знаменатель и сократим дробь:

$ \frac{2(3+\sqrt{2x-1})}{2(5-x)} = \frac{3+\sqrt{2x-1}}{5-x} $

Ответ: $ \frac{3+\sqrt{2x-1}}{5-x} $

г)

Упростим выражение $ \frac{3-b}{2-\sqrt{b+1}} $. Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ 2+\sqrt{b+1} $.

$ \frac{3-b}{2-\sqrt{b+1}} = \frac{(3-b)(2+\sqrt{b+1})}{(2-\sqrt{b+1})(2+\sqrt{b+1})} $

В знаменателе используем формулу разности квадратов:

$ (2-\sqrt{b+1})(2+\sqrt{b+1}) = 2^2 - (\sqrt{b+1})^2 = 4 - (b+1) = 4 - b - 1 = 3-b $

Подставим результат в дробь:

$ \frac{(3-b)(2+\sqrt{b+1})}{3-b} $

Сократим дробь на $ (3-b) $ (при условии, что $ b \neq 3 $):

$ 2+\sqrt{b+1} $

Ответ: $ 2+\sqrt{b+1} $