Номер 16.40, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.40, страница 84.

Условие.

16.40 а) $\frac{3}{\sqrt{a+b}} $;

б) $\frac{a+3}{\sqrt{a^2-9}} $;

в) $\frac{1}{\sqrt{c-d}} $;

г) $\frac{b-2}{\sqrt{4-b^2}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3}{\sqrt{a+b}}$, необходимо умножить и числитель, и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. В данном случае это сам знаменатель, то есть $\sqrt{a+b}$. Данная операция имеет смысл при условии, что подкоренное выражение строго больше нуля: $a+b > 0$.

Выполним умножение:

$\frac{3}{\sqrt{a+b}} = \frac{3 \cdot \sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b} \cdot \sqrt{a+b}} = \frac{3\sqrt{a+b}}{(\sqrt{a+b})^2} = \frac{3\sqrt{a+b}}{a+b}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{a+b}}{a+b}$.

б)

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{a+3}{\sqrt{a^2-9}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{a^2-9}$. Исходное выражение определено при $a^2-9 > 0$, то есть $a \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

$\frac{a+3}{\sqrt{a^2-9}} = \frac{(a+3) \cdot \sqrt{a^2-9}}{\sqrt{a^2-9} \cdot \sqrt{a^2-9}} = \frac{(a+3)\sqrt{a^2-9}}{a^2-9}$.

Знаменатель $a^2-9$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.

$\frac{(a+3)\sqrt{a^2-9}}{(a-3)(a+3)}$.

Так как из области определения следует, что $a \neq -3$, мы можем сократить дробь на множитель $(a+3)$:

$\frac{\sqrt{a^2-9}}{a-3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{a^2-9}}{a-3}$.

в)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt{c-d}}$, умножим числитель и знаменатель этой дроби на $\sqrt{c-d}$. Операция возможна при условии $c-d > 0$.

$\frac{1}{\sqrt{c-d}} = \frac{1 \cdot \sqrt{c-d}}{\sqrt{c-d} \cdot \sqrt{c-d}} = \frac{\sqrt{c-d}}{(\sqrt{c-d})^2} = \frac{\sqrt{c-d}}{c-d}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{c-d}}{c-d}$.

г)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{b-2}{\sqrt{4-b^2}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{4-b^2}$. Выражение имеет смысл при $4-b^2 > 0$, то есть $b^2 < 4$, что равносильно $-2 < b < 2$.

$\frac{b-2}{\sqrt{4-b^2}} = \frac{(b-2) \cdot \sqrt{4-b^2}}{\sqrt{4-b^2} \cdot \sqrt{4-b^2}} = \frac{(b-2)\sqrt{4-b^2}}{4-b^2}$.

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $4-b^2 = (2-b)(2+b)$.

$\frac{(b-2)\sqrt{4-b^2}}{(2-b)(2+b)}$.

Заметим, что $b-2 = -(2-b)$. Подставим это в числитель:

$\frac{-(2-b)\sqrt{4-b^2}}{(2-b)(2+b)}$.

Так как из области определения $-2 < b < 2$ следует, что $b \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(2-b)$:

$\frac{-\sqrt{4-b^2}}{2+b}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{4-b^2}}{b+2}$.